Cálculo de derivada da função multiplicativa- Encontre as derivadas a seguir utilizando-se da fórmula a seguir
dd x(f(x) cdot g(x))=f^prime(x) cdot g(x)+f(x) cdot g^prime(x)
f(x)=(x^2+1) cdot e^x

Passo 1

Enunciado: A gente quer achar a derivada da função f(x) = (x^2 + 1)e^x usando a regra do produto.

Passo 2

Para aplicar a regra do produto, identificamos duas funções: u(x) = x^2 + 1 e v(x) = e^x. A derivada de u é u'(x) = 2x e a derivada de v é v'(x) = e^x, já que a derivada de e^x é ela mesma.

Passo 3

A regra do produto diz que (u cdot v)' = u'v + u cdot v'. Substituindo, temos f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2x cdot e^x + (x^2 + 1) cdot e^x.

Passo 4

Agora basta fatorar o termo em comum e^x e escrever f'(x) = e^x(2x + x^2 + 1).

Passo 5

Por fim, reconhecemos que 2x + x^2 + 1 = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2. Assim, a expressão fica bem enxuta.

Resposta

f'(x) = (x + 1)^2 e^x

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