Cálculo de derivada da função multiplicativa- Encontre as derivadas a seguir utilizando-se da fórmula a seguir
dd x(f(x) cdot g(x))=f^prime(x) cdot g(x)+f(x) cdot g^prime(x)
g(x)=sin (x) cdot cos (x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de g(x)=sin(x) cdot cos(x) usando a regra do produto. O conteúdo é derivada de funções trigonométricas e vamos precisar da fórmula da regra do produto e das derivadas de sin(x) e cos(x).

Passo 2

Definimos f(x)=sin(x) e h(x)=cos(x). Sabemos que
f'(x)=cos(x)
h'(x)=-sin(x)

Passo 3

Aplicamos a regra do produto:
g'(x)=f'(x)cdot h(x)+f(x)cdot h'(x)

Passo 4

Substituindo as derivadas:
g'(x)=cos(x)cdotcos(x)+sin(x)cdot(-sin(x))

Passo 5

Simplificamos a soma:
g'(x)=cos^2(x)-sin^2(x)

Passo 6

Reconhecemos a identidade trigonométrica de ângulo duplo para cosseno.

Resposta

g'(x)=cos^2(x)-sin^2(x)=cos(2x)

Exercícios relacionados