Cálculo de derivada da função multiplicativa- Encontre as derivadas a seguir utilizando-se da fórmula a seguir
dd x(f(x) cdot g(x))=f^prime(x) cdot g(x)+f(x) cdot g^prime(x)
j(x)=(3 x-1) cdot sin (2 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função multiplicativa j(x) = (3x - 1) cdot sin(2x) usando a regra do produto. O conteúdo da matéria envolve a regra do produto e, para g(x) = sin(2x), também a regra da cadeia.

Passo 2

Identificamos as funções f(x) = 3x - 1 e g(x) = sin(2x). Vamos primeiro calcular f'(x). Como é uma função polinomial de grau 1, a derivada é a constante que multiplica x: f'(x) = 3.

Passo 3

Para g(x) = sin(2x), aplicamos a regra da cadeia. A derivada de sin(u) em relação a u é cos(u), e depois derivamos u = 2x, obtendo 2. Assim, g'(x) = cos(2x) cdot 2 = 2 cos(2x).

Passo 4

Agora usamos a regra do produto j'(x) = f'(x) cdot g(x) + f(x) cdot g'(x). Substituindo, temos: j'(x) = 3 cdot sin(2x) + (3x - 1) cdot (2 cos(2x)).

Passo 5

Por fim, simplificamos o resultado distribuindo 2: j'(x) = 3 sin(2x) + (6x - 2) cos(2x).

Resposta

j'(x) = 3 sin(2x) + (6x - 2) cos(2x)

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