Cálculo de derivada da função multiplicativa- Encontre as derivadas a seguir utilizando-se da fórmula a seguir
dd x(f(x) cdot g(x))=f^prime(x) cdot g(x)+f(x) cdot g^prime(x)
n(x)=cos (x) cdot e^x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de uma função que é produto de duas outras funções, então vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de f(x)·g(x) é f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x).

Passo 2

Vamos identificar as funções que estão multiplicadas: f(x)=cos(x) e g(x)=e{x2}. Precisamos das derivadas de cada uma:

Passo 3

Calcular f′(x). Como f(x)=cos(x), usamos a derivada do cosseno, que é –sen(x). Então f′(x)=–\sin(x).

Passo 4

Calcular g′(x). A função g(x)=e{x2} exige a regra da cadeia: a derivada de e^{u} é e^{u}·u′. Aqui u(x)=x^2, logo u′(x)=2x. Então g′(x)=e{x2}·2x.

Passo 5

Aplicar a regra do produto:
n'(x)=f'(x),g(x)+f(x),g'(x)

Passo 6

Substituir f, f′, g e g′:
n'(x)=(-sin(x)),e^x^2+cos(x),(2x,e^x^2)

Passo 7

Fatorar o termo comum e{x2} para simplificar a expressão:
n'(x)=e^x^2l(2xcos(x)-sin(x)r)

Resposta

n’(x)=e{x2}\bigl(2x\cos(x)-\sin(x)\bigr)

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