Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado. Justifique.
f(x)=llx^3-8x-2 & se x neq 2 L & se x=2 em p=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos o valor de $ L $ que faz a função $ f(x) $ ser contínua no ponto $ p = 2 $. Aqui estamos trabalhando com o conteúdo de continuidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto: basicamente, o limite da função quando $ x $ se aproxima de 2 deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja, $ f(2) = L $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da função $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 2. A função é definida por:
f(x)
Então, precisamos encontrar:
x

Passo 3

Observamos que $ x^{3} - 8 $ pode ser fatorado usando a identidade $ a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2}) $. Aqui, $ a = x $ e $ b = 2 $, então:
x^3 - 8
Substituindo isso na expressão do limite:
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Passo 4

Agora, podemos simplificar a fração cancelando o termo $ (x - 2) $ no numerador e no denominador:
(x - 2)

Passo 5

Com a expressão simplificada, basta substituir $ x $ por 2 para encontrar o limite:
x

Resposta

Para que a função $ f(x) $ seja contínua em $ p = 2 $, o valor de $ L $ deve ser igual ao limite calculado, ou seja, $ L = 12 $.

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