Cálculo de derivada da função multiplicativa- Encontre as derivadas a seguir utilizando-se da fórmula a seguir
dd x(f(x) cdot g(x))=f^prime(x) cdot g(x)+f(x) cdot g^prime(x)
q(x)=e^3 x cdot sin (x^2)

Passo 1

A questão pede para derivar a função q(x)=e^3xcdotsin(x^2) usando a regra do produto. O conteúdo é derivada de produto de funções e vamos precisar da fórmula ddx[f(x)g(x)]=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).

Passo 2

Para aplicar a regra, identificamos as duas funções: f(x)=e^3x e g(x)=sin(x^2).
Agora calculamos as derivadas individuais. Para f(x)=e^3x, usamos a cadeia: se u=3x então f(x)=e^u e f'(x)=u'e^u=3e^3x. Para g(x)=sin(x^2), também aplicamos a cadeia: se v=x^2 então g'(x)=cos(v),v'=2x, ou seja, g'(x)=2xcos(x^2).

Passo 3

Com essas derivadas, aplicamos a fórmula do produto:
q'(x)=f'(x),g(x)+f(x),g'(x)

Passo 4

Substituindo as expressões obtidas, temos:
q'(x)=3e^3xsin(x^2)+e^3xcdot2xcos(x^2)
Podemos ainda fatorar e^3x para simplificar:

Resposta

q'(x)=3e^3xsin(x^2)+2x,e^3xcos(x^2), ou ainda q'(x)=e^3xl(3sin(x^2)+2xcos(x^2)).

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