Determine todos os valores (raízes) de z tais que:
e^2 z=-e

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os números complexos z que satisfazem e^2z = -e. O conteúdo envolvido é exponencial de número complexo e logaritmo complexo, e vamos precisar usar a fórmula geral da função exponencial e sua inversa, o logaritmo complexo.

Passo 2

Escrevendo z = x + iy e usando a propriedade e^2z = e^2xe^2iy, percebemos que o módulo de e^2z é e^2x e seu argumento é 2y. Como -e = e^1cdot(-1), temos módulo e^1 e argumento pi + 2pi k, com kinZ. Para formalizar, aplicamos o logaritmo complexo:
2z = log(-e) = ln| -e | + iarg(-e) + 2pi i k = 1 + il(pi + 2pi kr)(kinZ)
Dividindo por 2, obtemos:
z = 12 + ipi + 2pi k2 = 12 + i(2k+1)pi2, kinZ

Resposta

As soluções são z = tfrac12 + itfrac(2k+1)pi2, com kinZ.

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