Qual das seguintes integrais determina o volume do sólido gerado quando a área delimitada pelas curvas
e
é rotacionada em torno do eixo
?
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar qual integral representa o volume do sólido gerado quando a área delimitada pelas curvas $ x = y^{2} - 2y $ e $ x - 2y + 3 = 0 $ é rotacionada em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar o método dos cilindros (ou cascas cilíndricas), que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas curvas que delimitam a área:
- $ x = y^{2} - 2y $ (Curva parabólica)
- $ x = 2y - 3 $ (Linha reta)
Para usar o método das cascas cilíndricas, precisamos determinar os limites de integração, ou seja, os valores de $ y $ onde as curvas se intersectam.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção igualando as duas equações:
Resolvendo a equação:
Fatorando:
Portanto, as interseções ocorrem em $ y = 1 $ e $ y = 3 $. Esses serão nossos limites de integração.
Passo 4
No método das cascas, a fórmula geral para o volume $ V $ é:
Aqui:
- $ y $ é a distância do elemento circular ao eixo $ x $.
- $ f(y) $ é a função mais à direita.
- $ g(y) $ é a função mais à esquerda.
Vamos identificar $ f(y) $ e $ g(y) $:
- Para um valor de $ y $ entre 1 e 3, a linha reta $ x = 2y - 3 $ está à direita da parábola $ x = y^{2} - 2y $.
Portanto:
- $ f(y) = 2y - 3 $
- $ g(y) = y^{2} - 2y $
Passo 5
Substituindo na fórmula do volume:
Simplificando dentro do colchetes:
Então, a integral fica:
Passo 6
Distribuindo o $ y $ dentro da integral:
Comparando com as opções fornecidas, buscamos uma que corresponda a essa expressão.
Resposta
A integral que determina o volume do sólido é:
Portanto, a opção correta é: