Qual das seguintes integrais determina o volume do sólido gerado quando a área delimitada pelas curvas x=y^2-2 y e x-2 y+3=0 é rotacionada em torno do eixo x ?
Escolha uma opção:
integral1^3 2 pi y(1-y)(y+3) d y
integral1^3 2 pi y(1+y)(y+3) d y
integral1^3 2 pi y(1-y)(y-3) d y
Nenhuma das demais alternativas
integral1^3 2 pi y(1-y)(y-2) d y
integral1^3 2 pi y(1+y)(y-2) d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar qual integral representa o volume do sólido gerado quando a área delimitada pelas curvas $ x = y^{2} - 2y $ e $ x - 2y + 3 = 0 $ é rotacionada em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar o método dos cilindros (ou cascas cilíndricas), que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas curvas que delimitam a área:
  1. $ x = y^{2} - 2y $ (Curva parabólica)
  2. $ x = 2y - 3 $ (Linha reta)
Para usar o método das cascas cilíndricas, precisamos determinar os limites de integração, ou seja, os valores de $ y $ onde as curvas se intersectam.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção igualando as duas equações:
y^2 - 2y = 2y - 3
Resolvendo a equação:
y^2 - 4y + 3 = 0
Fatorando:
(y - 1)(y - 3) = 0
Portanto, as interseções ocorrem em $ y = 1 $ e $ y = 3 $. Esses serão nossos limites de integração.

Passo 4

No método das cascas, a fórmula geral para o volume $ V $ é:
V
Aqui:
  • $ y $ é a distância do elemento circular ao eixo $ x $.
  • $ f(y) $ é a função mais à direita.
  • $ g(y) $ é a função mais à esquerda.
Vamos identificar $ f(y) $ e $ g(y) $:
  • Para um valor de $ y $ entre 1 e 3, a linha reta $ x = 2y - 3 $ está à direita da parábola $ x = y^{2} - 2y $.
Portanto:
  • $ f(y) = 2y - 3 $
  • $ g(y) = y^{2} - 2y $

Passo 5

Substituindo na fórmula do volume:
V = 2pi integral1^3 y cdot [(2y - 3) - (y^2 - 2y)] , dy
Simplificando dentro do colchetes:
(2y - 3) - (y^2 - 2y) = -y^2 + 4y - 3
Então, a integral fica:
V = 2pi integral1^3 y cdot (-y^2 + 4y - 3) , dy

Passo 6

Distribuindo o $ y $ dentro da integral:
y
Comparando com as opções fornecidas, buscamos uma que corresponda a essa expressão.

Resposta

A integral que determina o volume do sólido é:
integral1^3 2 pi y(1 - y)(y - 3) , dy
Portanto, a opção correta é:
integral1^3 2 pi y(1 - y)(y - 3) , dy

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