Cálculo de derivada de polinômios - Encontre as derivadas a seguir utilizando-se da fórmula a seguir
dd x[x^n]=n x^n-1
r(x)=4 x^4-3 x^-5+2 raizx-6 x+7

Passo 1

A função dada é r(x)=4x⁴−3x⁻⁵+2√x−6x+7 e o conteúdo principal aqui é a derivada de potências, usando a fórmula ddx[x^n]=n x^n-1. Vamos precisar reescrever √x como potência de x.

Passo 2

Reescrevendo cada termo em forma de potência: 4x⁴ permanece, −3x⁻⁵ permanece, 2√x vira 2x^{1/2}, −6x é −6x¹ e 7 é constante (x⁰). Assim temos os expoentes n=4, n=−5, n=1/2, n=1 e n=0.

Passo 3

Aplicando a regra da potência ddx[x^n]=n x^n-1 termo a termo e simplificando: • ddx[4x^4]=4cdot4x^3=16x^3 ddx[-3x^-5]=-3cdot(-5)x^-6=15x^-6 ddx[2x^1/2]=2cdottfrac12 x^-1/2=x^-1/2 ddx[-6x]=-6cdot1x^0=-6 ddx[7]=0.

Passo 4

Somando todas as derivadas dos termos, chegamos à derivada completa da função.

Resposta

r'(x)=16x^3+15x^-6+x^-1/2-6

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