Para cada uma das seguintes funções, encontre a reta tangente e a reta normal nos pontos indicados.
f(x)=tan (x) em x=pi / 4

Passo 1

Estamos resolvendo retas tangente e normal da função f(x) = tan(x) no ponto x0 = pi/4. Para isso, precisamos calcular o valor de f(x0), a derivada f'(x0) e usar a fórmula da reta no formato ponto-inclinação.

Passo 2

Calcular f(pi/4) e encontrar o valor do ponto.
f(pi/4) = tan(pi/4) = 1

Passo 3

Calcular a derivada da função: a derivada de tan(x) é sec^2(x). Logo,
f'(x) = sec^2(x) e f'(pi/4) = sec^2(pi/4) = (raiz2)^2 = 2

Passo 4

Montar a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação y - y0 = m,(x - x0) com m = f'(pi/4) = 2 e (x0,y0)=(pi/4,1):
y - 1 = 2l(x - tfracpi4r)

Passo 5

Colocar a reta tangente na forma explícita y = mx + b desenvolvendo a expressão anterior:
y = 2x - tfracpi2 + 1

Passo 6

Determinar a reta normal. O coeficiente angular da normal é mn = -1m = -tfrac12. Usando ponto-inclinação:
y - 1 = -tfrac12l(x - tfracpi4r)
Em seguida, reescrevendo na forma explícita:
y = -tfrac12x + 1 + tfracpi8

Resposta

Reta tangente: y = 2x - pi2 + 1. Reta normal: y = -12x + 1 + pi8.

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