Utilize séries de potências para calcular os limites abaixo. (Dica: Expanda as funções em séries de Maclaurin e simplifique a expressão antes de tomar o limite.)
lim x 0 1-cos x1+x-e^x

Passo 1

Temos que calcular o limite limxto 0 1-cos x1+x-e^x. O conteúdo envolve séries de Maclaurin e vamos precisar expandir cos x e e^x em potências de x para simplificar a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 2

Para usar séries de Maclaurin, lembramos que
cos x = 1 - x^22! + x^44! + O(x^6)
Essa expansão mostra os primeiros termos em potências de x até x^4.

Passo 3

De modo similar, a série de Maclaurin para e^x é
e^x = 1 + x + x^22! + x^33! + x^44! + O(x^5) = 1 + x + x^22 + x^36 + x^424 + O(x^5)
Vamos usar termos até x^4.

Passo 4

Agora, calculamos numerador e denominador com essas expansões. Para o numerador temos
1 - cos x = 1 - l(1 - x^22 + x^424 + O(x^6)r) = x^22 - x^424 + O(x^6)
Para o denominador:
1 + x - e^x = 1 + x - l(1 + x + x^22 + x^36 + x^424 + O(x^5)r) = -x^22 - x^36 - x^424 + O(x^5)

Passo 5

Dividindo as séries e fatorando x^2, obtenho
1-cos x1+x-e^x = x^22 - x^424 + O(x^6)-x^22 - x^36 - x^424 + O(x^5) = 1/2 - x^2/24 + O(x^4)-1/2 - x/6 - x^2/24 + O(x^3)
Quando x to 0, os termos de ordem superior desaparecem e a fração tende a -1.

Resposta

-1

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