Cálculo de derivada de polinômios - Encontre as derivadas a seguir utilizando-se da fórmula a seguir
dd x[x^n]=n x^n-1
p(x)=2 x^5+3 x^-3-6 raizx+x^2-8 x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função p(x) = 2 x^5 + 3 x^-3 - 6 raizx + x^2 - 8 x + 1 usando a fórmula ddx[x^n] = n x^n-1. Vamos aplicar essa regra termo a termo.

Passo 2

Observe que raizx é a mesma coisa que x^1/2. Assim, podemos reescrever p(x) como
p(x) = 2 x^5 + 3 x^-3 -6 x^1/2 + x^2 -8 x + 1
Isso coloca todos os termos na forma x^n.

Passo 3

Aplicando a regra ddx[x^n] = n x^n-1 a cada termo:
  • Derivada de 2 x^5 é 2 cdot 5 x^5-1 = 10 x^4.
  • Derivada de 3 x^-3 é 3 cdot (-3) x^-3-1 = -9 x^-4.
  • Derivada de -6 x^1/2 é -6 cdot tfrac12 x^1/2 - 1 = -3 x^-1/2.
  • Derivada de x^2 é 2 x.
  • Derivada de -8 x é -8.
  • Derivada de 1 é 0.

Passo 4

Somando todas as derivadas, obtemos
p'(x) = 10 x^4 - 9 x^-4 - 3 x^-1/2 + 2 x - 8

Resposta

p'(x) = 10 x^4 - 9 x^-4 - 3 x^-1/2 + 2 x - 8

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