1. (Cálculo de derivadas e derivação implícita - 2,5 pontos) Ache d yd x
    a) y=16 x^2-9ln (4 x-3)

Passo 1

Então, a gente precisa encontrar a derivada de em relação a . Isso envolve o cálculo de derivadas, usando a regra do quociente e a regra da cadeia. Vamos precisar aplicar essas regras para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que temos uma função no formato de um quociente: , onde e . Para derivar isso, vamos usar a Regra do Quociente, que diz que .

Passo 3

Vamos calcular u = 16x^2 - 9 , a derivada de u' = 32x em relação a :
Isso porque a derivada de é e a derivada de uma constante (-9) é 0.

Passo 4

Agora, vamos derivar v = ln(4x - 3) , que é v' = 14x - 3 cdot 4 = 44x - 3 . Para isso, usamos a Regra da Cadeia:
A derivada de é , onde e .

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Quociente com os valores que encontramos:
dydx = v cdot u' - u cdot v'v^2
Substituindo:
dydx = ln(4x - 3) cdot 32x - (16x^2 - 9) cdot 44x - 3(ln(4x - 3))^2

Passo 6

Podemos simplificar a expressão no numerador:
dydx = 32x ln(4x - 3) - 4(16x^2 - 9)4x - 3(ln(4x - 3))^2
Isso já é uma forma simplificada da derivada.

Resposta

A derivada de dydx = 32x ln(4x - 3) - 4(16x^2 - 9)4x - 3(ln(4x - 3))^2 em relação a é:

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