1. (Cálculo de derivadas e derivação implícita - 2,5 pontos) Ache d yd x
    c) y=raiz[3]x^3+1-e^x y

Passo 1

Nesse exercício vamos calcular a derivada dydx da função definida por y=raiz[3]x^3+1-e^xy O conteúdo envolve a regra da cadeia para funções compostas (no caso da raiz e do exponencial) e diferenciação implícita, pois y aparece dentro do expoente de e^xy.

Passo 2

Para facilitar a diferenciação, reorganizamos a relação como equação implícita: y + e^xy = (x^3+1)^1/3 Assim fica claro que vamos derivar ambos os lados em relação a x e depois isolar y'.

Passo 3

Aplicamos a derivação termo a termo em relação a x. No lado esquerdo, d/dx,(y)=y' e para d/dxl(e^xyr) usamos regra da cadeia e do produto dentro do expoente:
ddxl(e^xyr)=e^xycdotddx(xy)=e^xy(y + x,y')

Passo 4

No lado direito, derivamos (x^3+1)^1/3 pela regra da cadeia:
ddxl((x^3+1)^1/3r)=tfrac13(x^3+1)^-2/3cdot3x^2 = x^2(x^3+1)^-2/3

Passo 5

Substituindo essas derivadas na equação implícita, obtemos:
y' + e^xy(y + x y') = x^2(x^3+1)^-2/3

Passo 6

Agora agrupamos os termos que contém y':
y' + x e^xyy' + e^xyy = x^2(x^3+1)^-2/3,

Passo 7

y'(1 + x e^xy) = x^2(x^3+1)^-2/3 - y e^xy

Passo 8

Por fim, isolamos y':

Resposta

dydx=x^2,(x^3+1)^-2/3-y,e^xy1+x,e^xy

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