(Cálculo de derivadas e derivação implícita - 2,5 pontos) Ache d yd x
y=cosec(3 x)cotg(4 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo de derivadas usando derivação implícita. A gente precisa encontrar a derivada de y = cosec(3x)cot(4x) em relação a , ou seja, , para a função dada:
Para isso, vamos usar a regra do quociente e a regra da cadeia, que nos ajudam a derivar funções que são frações e que têm outras funções dentro delas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as funções trigonométricas para facilitar a derivação. Sabemos que:
Então, podemos reescrever cosec(3x) = 1sin(3x) e cot(4x) = cos(4x)sin(4x) como:
y = 1sin(3x)cos(4x)sin(4x) = sin(4x)sin(3x) cos(4x)
Isso simplifica nossa expressão para:
y = sin(4x)sin(3x) cos(4x)

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do quociente para derivar dydx = v cdot dudx - u cdot dvdxv^2 . A regra do quociente diz que se temos , então:
Aqui, e . Vamos precisar derivar e separadamente.

Passo 4

Vamos derivar dudx = 4 cos(4x) :
Usamos a regra da cadeia aqui, derivando a função dentro do seno.

Passo 5

Agora, vamos derivar dvdx = f' cdot g + f cdot g' . Aqui, usamos a regra do produto, que diz que se dvdx = 3 cos(3x) cdot cos(4x) + sin(3x) cdot (-4 sin(4x)) , então:
dvdx = 3 cos(3x) cos(4x) - 4 sin(3x) sin(4x)
Então, para e :
Simplificando:

Passo 6

Agora, aplicamos a regra do quociente:
dydx = v cdot dudx - u cdot dvdxv^2
Substituindo os valores que encontramos:
dydx = sin(3x) cos(4x) cdot 4 cos(4x) - sin(4x) cdot (3 cos(3x) cos(4x) - 4 sin(3x) sin(4x))(sin(3x) cos(4x))^2

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:
4 sin(3x) cos^2(4x) - 3 sin(4x) cos(3x) cos(4x) + 4 sin(4x) sin(3x) sin(4x)
Agrupando termos semelhantes:
4 sin(3x) cos^2(4x) - 3 sin(4x) cos(3x) cos(4x) + 4 sin(3x) sin^2(4x)
Podemos fatorar sin(3x) (4 cos^2(4x) + 4 sin^2(4x)) - 3 sin(4x) cos(3x) cos(4x) :
sin(3x) cdot 4 - 3 sin(4x) cos(3x) cos(4x)
Sabemos que 4 sin(3x) - 3 sin(4x) cos(3x) cos(4x) , então:
Isso fica:

Passo 8

Então, a derivada final fica:
dydx = 4 sin(3x) - 3 sin(4x) cos(3x) cos(4x)sin^2(3x) cos^2(4x)
Podemos deixar assim ou, se preferir, fatorar ainda mais, mas essa é uma forma simplificada da derivada.

Resposta

A derivada de dydx = 4 sin(3x) - 3 sin(4x) cos(3x) cos(4x)sin^2(3x) cos^2(4x) em relação a é:

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