(Cálculo de derivadas e derivação implícita - 2,5 pontos) Ache
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo de derivadas usando derivação implícita. A gente precisa encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, para a função dada:
Para isso, vamos usar a regra do quociente e a regra da cadeia, que nos ajudam a derivar funções que são frações e que têm outras funções dentro delas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as funções trigonométricas para facilitar a derivação. Sabemos que:
Então, podemos reescrever
como:
Isso simplifica nossa expressão para:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra do quociente para derivar
. A regra do quociente diz que se temos
, então:
Aqui,
e
. Vamos precisar derivar
e
separadamente.
Passo 4
Vamos derivar
:
Usamos a regra da cadeia aqui, derivando a função dentro do seno.
Passo 5
Agora, vamos derivar
. Aqui, usamos a regra do produto, que diz que se
, então:
Então, para
e
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Vamos simplificar o numerador:
Agrupando termos semelhantes:
Podemos fatorar
:
Sabemos que
, então:
Isso fica:
Passo 8
Então, a derivada final fica:
Podemos deixar assim ou, se preferir, fatorar ainda mais, mas essa é uma forma simplificada da derivada.
Resposta
A derivada de
em relação a
é: