Dê exemplo de uma sequência
, não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
(e) não limitada e não monótona;
14
Expresse pelo termo geral cada sequência dada abaixo. Depois classifique as sequências quanto à limitação e monotonia.
(a)
(e) não limitada e não monótona;
14
Expresse pelo termo geral cada sequência dada abaixo. Depois classifique as sequências quanto à limitação e monotonia.
(a)
Passo 1
O enunciado tem dois desafios: (e) dar um exemplo de sequência não constante, não limitada e não monótona; e na questão 14(a) encontrar o termo geral da sequência dada e classificá-la em limitação e monotonia.
Passo 2
Para ilustrar (e), escolhemos uma sequência cujo valor cresce em módulo e oscila de sinal. Por exemplo, definimos a_n = (−1)^n · n. Essa sequência não é constante, pois os valores variam; não é limitada porque |a_n| = n → ∞; e não é monótona porque alterna crescimento e decrescimento (por exemplo, a_1 = −1 < a_2 = 2, mas a_2 = 2 > a_3 = −3).
Passo 3
Na questão 14(a), observamos os termos 1, 1/2, 1/3, 1/4, … e concluímos que o termo geral é a_n = 1/n.
Para classificar a sequência a_n = 1/n notamos que 0 < 1/n ≤ 1 para todo n ∈ ℕ, logo ela é limitada superiormente por 1 e inferiormente por 0.
Também vemos que, quando n cresce, 1/(n+1) < 1/n, portanto a sequência é monotonicamente decrescente.
Para classificar a sequência a_n = 1/n notamos que 0 < 1/n ≤ 1 para todo n ∈ ℕ, logo ela é limitada superiormente por 1 e inferiormente por 0.
Também vemos que, quando n cresce, 1/(n+1) < 1/n, portanto a sequência é monotonicamente decrescente.
Resposta
(e) Por exemplo
, que não é constante, não é limitada (|a_n|→∞) e não é monótona (oscila).
14(a) , é limitada (0< a_n ≤1) e monotona decrescente.
14(a)