(Cálculo de derivadas e derivação implícita - 2,5 pontos) Ache
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que relaciona
e
:
O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de derivadas, mais especificamente a derivação implícita. Vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivação de funções implícitas, para encontrar
.
Passo 2
Vamos reescrever a equação para facilitar a derivação:
Aqui, identificamos que
aparece nos dois lados da equação, o que nos indica que precisamos usar a derivação implícita.
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que, ao derivar algo que depende de
, usamos
.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:
Passo 4
Vamos derivar cada termo do lado direito separadamente.
Primeiro, derivando
:
Usamos a regra da cadeia: se
, então
E
. Então,
Segundo, derivando
:
Usamos a regra do produto:
Passo 5
Agora, juntamos tudo:
Vamos reorganizar os termos para coletar
:
Fatorando
:
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A derivada
é: