Expresse pelo termo geral cada sequência dada abaixo. Depois classifique as sequências quanto à limitação e monotonia.
(e) 1,9,25,49,81, ldots
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Expresse pelo termo geral cada sequência dada abaixo. Depois classifique as sequências quanto à limitação e monotonia.
(g) 2,1, 32, 1, 43, 1, cdots

Passo 1

Neste exercício vamos encontrar o termo geral de duas sequências e classificá-las quanto à limitação e à monotonia. A sequência (e) é dada pelos termos 1,9,25,49,81,ldots. A sequência (g) é 2,1,tfrac32,1,tfrac43,1,ldots. O conteúdo envolve identificação de padrões em sequências, uso de expressões algébricas para descrever o termo geral e análise de crescimento e limites.

Passo 2

Observando a sequência (e), notamos que os termos são quadrados de números ímpares:
1^2,;3^2,;5^2,;7^2,;9^2,;ldots
Logo, o termo geral é
an = (2n - 1)^2
Para a monotonia, como
an+1 = (2(n+1)-1)^2 = (2n+1)^2 > (2n-1)^2 = an,
ela é estritamente crescente. Quanto à limitação, cresce sem limite superior, então é ilimitada (não limitada).

Passo 3

Na sequência (g) vemos um padrão alternado: nos índices pares o termo é sempre 1, e nos índices ímpares temos uma fração que decresce. Para n ímpar, seja k=tfracn+12, então
an = k+1k = n+12+1n+12 = n+3n+1
Para n par
an = 1
Em forma de termo geral:
an = dfracn+3n+1, & se n ímpar, 1, & se n par í
Como os valores oscilam entre 1 e um máximo inicial de 2, a sequência é limitada ( 1<= an<=2). Mas não é monotônica, pois alterna subindo e descendo.

Resposta

(e) an=(2n-1)^2. Sequência estritamente crescente e ilimitada.
(g) an=dfracn+3n+1,&n ímpar,1,&n parí Sequência limitada ( 1<= an<=2) e não monotônica.

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