Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(a) ( ) Toda sequência convergente é limitada;
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Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(b) ( ) Toda sequência limitada e convergente;

Passo 1

A questão quer saber se (a) toda sequência convergente é limitada e (b) se toda sequência limitada é convergente. O conteúdo aqui é sequências numéricas, mais especificamente as definições de convergência e de sequência limitada. Para resolver, vamos usar essas definições formais e, no caso de refutar, apresentar um contraexemplo.

Passo 2

Para (a), aplicamos a definição de convergência. Dizemos que $a_n$ converge para $L$ se, para todo $\epsilon>0$, existe $N$ tal que, para todo $n\ge N$, temos $|a_n-L|<\epsilon$. Escolhendo $\epsilon=1$, obtemos um $N$ com $|a_n-L|<1$ para $n\ge N$. Assim $|a_n|\le|L|+1$ nesses indices. Como os primeiros $N-1$ termos são finitos, basta tomar o máximo entre $|a_1|,|a_2|,\dots,|a_{N-1}|$ e $|L|+1$ para ver que $a_n$ é limitada. Logo, a afirmação (a) é verdadeira.

Passo 3

Para (b), mostramos que nem toda sequência limitada converge, dando um contraexemplo clássico. Considere $a_n = (-1)^n$. Essa sequência é limitada, pois para todo $n$ temos $|a_n|=1$. Mas ela não converge, pois oscila entre $+1$ e $-1$, não existindo $L$ tal que $a_n$ fique arbitrariamente perto de \L\) para $n$ grande. Portanto, (b) é falsa.

Resposta

(a) Verdadeira (V); (b) Falsa (F).

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