(Cálculo de derivadas e diferenciação implícita) Calcule d yd x usando as regras de derivação.
y=ln (5x^3+2)

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular
y = ln!l(5x^3+2r)
O conteúdo é derivação de funções logarítmicas, usando a regra da cadeia e, opcionalmente, a propriedade de logaritmos para simplificar a expressão antes de derivar.

Passo 2

Aplicamos a propriedade
ln!l(tfracABr)=ln A - ln B
a fim de tornar a derivação mais direta. Aqui A=5 e B=x^3+2, logo
y = ln 5 - ln(x^3+2)

Passo 3

Derivamos termo a termo. A derivada de ln 5 é zero, pois é constante. Para ln(x^3+2) usamos a regra da cadeia: se u(x)=x^3+2, então
ddxln u = u'u e u' = 3x^2
Portanto,
ddxl[-ln(x^3+2)r] = -3x^2x^3+2

Passo 4

Somando as derivadas dos dois termos, obtemos
dydx = 0 ;-;3x^2x^3+2 = -3x^2x^3+2

Resposta

dydx = -3x^2x^3+2

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