(Cálculo de derivadas e diferenciação implícita) Calcule d yd x usando as regras de derivação.
tg(x)+tg(3 y)=3 x y

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
tan(x) + tan(3y) = 3xy
e pede dydx. Vamos usar diferenciação implícita, aplicando as regras de derivação de funções compostas (cadeia), da tangente e produto.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, obtemos
ddxl(tan(x)r) + ddxl(tan(3y)r) =ddxl(3x,yr)
Aí,
  • ddx(tan(x)) = sec^2(x).
  • ddx(tan(3y)) = sec^2(3y)cdotddx(3y) =3,sec^2(3y),dydx
  • Para ddx(3x,y) usamos produto:
ddx(3x,y) = 3l(y + x,dydxr)

Passo 3

Substituindo essas derivadas na igualdade, fica
sec^2(x) + 3,sec^2(3y),dydx =3y + 3x,dydx
Agora agrupamos os termos com dydx de um lado:

Passo 4

3,sec^2(3y),dydx - 3x,dydx =3y - sec^2(x)
Fatorando dydx:

Passo 5

dydx,l(3,sec^2(3y)-3xr) =3y - sec^2(x)
Isolando dydx, obtemos

Resposta

dydx =3y - sec^2(x)3,l(sec^2(3y)-xr)

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