(Questão 01) [2,0 pontos] Assinale F para as afirmações FALSAS e V para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
( ) w / / v Rightarrow projv w=w;
( ) Se (u, v, w) é LI, então [u, v, w]=[v, u, w];
( a) u cdot v=0 Leftrightarrow u / / v;
( ) Se ( u, v ) é LI, então ( u, v, u wed>= v ) é base;
( ) Dados os pontos A, B, C e D, se |A B|=|C D| então |A C|=|B D|.

Passo 1

O enunciado pede para marcar V (verdadeiro) ou F (falso) em cinco afirmações sobre vetores em R^3. Vamos usar propriedades de projeção, produto misto, produto escalar, independência linear e distâncias entre pontos.

Passo 2

Analisando as duas primeiras:
  1. Se wparal<=lv, então existe alpha tal que w=alphav. A projeção
projvec vvec w =vec wcdotvec vvec vcdotvec v,vec v =alpha,vec vcdotvec vvec vcdotvec v,vec v =alphavec v =vec w,
logo é verdadeira.
2. O produto misto [vec u,vec v,vec w]=vec ucdot(vec vtimesvec w) troca de sinal ao trocar vec u e vec v, ou seja
[vec v,vec u,vec w]=-,[vec u,vec v,vec w]
Para vetores LI isso não se anula, então a igualdade é falsa.

Passo 3

Agora a terceira e a quarta:
3. vec ucdotvec v=0 significa que vec uperpvec v, não que são paralelos. Portanto é falsa.
4. Se (vec u,vec v) é LI em R^3, então vec utimesvec vneqvec 0 e é ortogonal ao plano gerado por vec u,vec v. Assim (vec u,vec v,vec utimesvec v) forma base de R^3, logo é verdadeira.

Passo 4

A quinta afirmação envolve apenas comprimentos de segmentos: saber que |AB|=|CD| não impõe nenhuma relação entre |AC| e |BD|. É falsa.

Resposta

V, F, F, V, F

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