(Questão 01) [2,0 pontos] Assinale F para as afirmações FALSAS e V para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
( ) ;
( ) Se é LI, então ;
( ;
( ) Se ( ) é LI, então ( ) é base;
( ) Dados os pontos e , se então |A C|=|B D|.
Passo 1
O enunciado pede para marcar V (verdadeiro) ou F (falso) em cinco afirmações sobre vetores em R^3. Vamos usar propriedades de projeção, produto misto, produto escalar, independência linear e distâncias entre pontos.
Passo 2
Analisando as duas primeiras:
Se wparal<=lv, então existe alpha tal que w=alphav. A projeção
projvec vvec w =vec wcdotvec vvec vcdotvec v,vec v =alpha,vec vcdotvec vvec vcdotvec v,vec v =alphavec v =vec w,
logo é verdadeira.
2. O produto misto [vec u,vec v,vec w]=vec ucdot(vec vtimesvec w) troca de sinal ao trocar vec u e vec v, ou seja
[vec v,vec u,vec w]=-,[vec u,vec v,vec w]
Para vetores LI isso não se anula, então a igualdade é falsa.
Passo 3
Agora a terceira e a quarta:
3. vec ucdotvec v=0 significa que vec uperpvec v, não que são paralelos. Portanto é falsa.
4. Se (vec u,vec v) é LI em R^3, então vec utimesvec vneqvec 0 e é ortogonal ao plano gerado por vec u,vec v. Assim (vec u,vec v,vec utimesvec v) forma base de R^3, logo é verdadeira.
Passo 4
A quinta afirmação envolve apenas comprimentos de segmentos: saber que |AB|=|CD| não impõe nenhuma relação entre |AC| e |BD|. É falsa.