c) Mostre que a equação f(x)=0 tem exatamente três soluções reais.
13. Seja f: R R uma função derivável.
a) Mostre que se a equação f(x)=0 tem infinitas soluções reais, então a equação f^prime(x)=0 também tem infinitas soluções reais.

Passo 1

O enunciado traz duas tarefas:
  • c) “Mostre que a equação f(x)=0 tem exatamente três soluções reais.”
  • 13 a) “Seja f:RtoR derivável. Mostre que se a equação f(x)=0 tem infinitas soluções reais, então a equação f'(x)=0 também tem infinitas soluções reais.”
    Para resolver c) precisaríamos da definição explícita de f, que não foi fornecida. Para 13 a) podemos usar o Teorema de Rolle.

Passo 2

Como não há definição de f na parte c), não é possível demonstrar que f(x)=0 tem exatamente três raízes reais — faltam dados sobre f.
Focando em 13 a), temos uma função f derivável em R e a hipótese de que
xinRmid f(x)=0
é infinito. Queremos provar que
xinRmid f'(x)=0
também é infinito.

Passo 3

Use o Teorema de Rolle: se f é contínua em [a,b], derivável em (a,b) e f(a)=f(b), então existe cin(a,b) tal que f'(c)=0.
Como f(x)=0 tem infinitas soluções, podemos listar infinitos zeros distintos
ldots < x-1<x0<x1<x2<cdots,
com f(xk)=0 para todo k.
Entre cada par de zeros consecutivos xk e xk+1 aplicamos Rolle e obtemos um ponto ckin(xk,xk+1) em que
f'(ck)=0

Passo 4

Os pontos ck são todos distintos (cada um está em um intervalo diferente), portanto há infinitos ck tais que f'(ck)=0. Concluímos que f'(x)=0 tem infinitas soluções reais.

Resposta

c) Não é possível provar sem a definição de f.
13 a) Pelo Teorema de Rolle, entre cada par de zeros de f surge um zero de f', logo se f(x)=0 tem infinitas soluções então f'(x)=0 também tem infinitas soluções.

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