c) Mostre que a equação
tem exatamente três soluções reais.
13. Seja
uma função derivável.
a) Mostre que se a equação
tem infinitas soluções reais, então a equação
também tem infinitas soluções reais.
13. Seja
a) Mostre que se a equação
Passo 1
O enunciado traz duas tarefas:
- c) “Mostre que a equação
tem exatamente três soluções reais.” - 13 a) “Seja
derivável. Mostre que se a equação tem infinitas soluções reais, então a equação também tem infinitas soluções reais.”
Para resolver c) precisaríamos da definição explícita de, que não foi fornecida. Para 13 a) podemos usar o Teorema de Rolle.
Passo 2
Como não há definição de
na parte c), não é possível demonstrar que
tem exatamente três raízes reais — faltam dados sobre
.
Focando em 13 a), temos uma função derivável em
e a hipótese de que
Focando em 13 a), temos uma função
é infinito. Queremos provar que
também é infinito.
Passo 3
Use o Teorema de Rolle: se
é contínua em
, derivável em
e
, então existe
tal que
.
Como tem infinitas soluções, podemos listar infinitos zeros distintos
Como
com
para todo
.
Entre cada par de zeros consecutivos e
aplicamos Rolle e obtemos um ponto
em que
Entre cada par de zeros consecutivos
Passo 4
Os pontos
são todos distintos (cada um está em um intervalo diferente), portanto há infinitos
tais que
. Concluímos que
tem infinitas soluções reais.
Resposta
c) Não é possível provar sem a definição de
.
13 a) Pelo Teorema de Rolle, entre cada par de zeros de surge um zero de
, logo se
tem infinitas soluções então
também tem infinitas soluções.
13 a) Pelo Teorema de Rolle, entre cada par de zeros de