(Cálculo de derivadas e diferenciação implícita - 2,5 pontos) Calcule d yd x usando as regras de derivação.
e^y=cos ^2(2 x+y)+ln (x y)

Passo 1

Temos a equação e^y = cos^2(2x+y) + ln(xy). O conteúdo é diferenciação implícita, usando regra da cadeia, derivada de funções exponenciais, trigonométricas e logarítmicas.

Passo 2

Diferenciamos ambos os lados em relação a x, lembrando que y é função de x. A derivada de e^y é e^yy'. A derivada de cos^2(2x+y) pela regra da cadeia é:
ddxcos^2(2x+y) = 2cos(2x+y)cdot(-sin(2x+y))cdot(2 + y')

Passo 3

A derivada de ln(xy) é:
ddxln(xy) = y + x y'xy = 1x + y'y

Passo 4

Logo, juntando tudo:
e^yy' = -2cos(2x+y)sin(2x+y),(2+y') + 1x + y'y

Passo 5

Expandimos e agrupamos os termos que contêm y' de um lado da equação:
e^yy' = -4cos(2x+y)sin(2x+y) -2cos(2x+y)sin(2x+y),y' + 1x + y'y

Passo 6

e^yy' + 2cos(2x+y)sin(2x+y),y' - y'y = -4cos(2x+y)sin(2x+y) + 1x

Passo 7

Fatoramos y' no lado esquerdo e isolamos dydx=y':
y'(e^y + 2cos(2x+y)sin(2x+y) - 1y) = 1x -4cos(2x+y)sin(2x+y)

Resposta

dydx = 1x -4cos(2x+y)sin(2x+y)e^y + 2cos(2x+y)sin(2x+y) - 1y

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