Use a parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada da função.
e) F(x)=integralx^2 cos (t^2) d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de F(x)=integralx^2cos(t^2),dt usando a parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Precisamos lembrar como lidar quando o limite inferior é variável.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1, nos diz como derivar uma integral com limites que dependem de x. De modo geral, se definirmos
ddx integralu(x)^v(x) f(t),dt = fl(v(x)r),v'(x) - fl(u(x)r),u'(x)

Passo 3

Para nossa função, identificamos
u(x)=x, v(x)=2, f(t)=cos(t^2)
Calculando as derivadas dos limites, temos
u'(x)=1, v'(x)=0

Passo 4

Aplicando a fórmula do teorema, obtemos
F'(x)=underbracecosl(2^2r)f(v(x))cdot 0 - underbracecosl(x^2r)f(u(x))cdot 1 = -cos(x^2)

Resposta

-cos(x^2)

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