Expresse a transformada inversa abaixo como um produto de convolução.
L^-1(2s^4+4 s^2)

Passo 1

O problema pede a transformada inversa L^-1[2/(s^4+4s^2)] expressa como um produto de convolução. O conteúdo principal aqui é o teorema da convolução para transformadas de Laplace, e vamos precisar usar tabelas de transformadas elementares e o fato de que a transformada de um convolutional em tempo é o produto de transformadas em s.

Passo 2

Primeiro, fatoramos a função em s:
2s^4+4s^2=2s^2,(s^2+4)
Para aplicar o teorema da convolução, separamos em dois fatores cujas inversas conhecemos:
2s^2,(s^2+4)=underbrace1s^2G(s);times;underbrace2s^2+4H(s)

Passo 3

Das tabelas: G(s)=1/s^2 corresponde a g(t)=t, e H(s)=2/(s^2+4) corresponde a h(t)=sin(2t). Pelo teorema da convolução temos
f(t)= (g*h)(t)=integral0^tg(tau),h(t-tau),dtau=integral0^ttau,sinl(2(t-tau)r),dtau

Resposta

integral0^ttau,sinl(2(t-tau)r),dtau

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