Resolva o problema de valor inicial abaixo usando a transformada de Laplace:
y^prime prime+4 y=de

Passo 1

Nesta questão, temos uma equação diferencial de segunda ordem com um impulso de Dirac: y'' + 4y = de, sujeita às condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. O conteúdo aqui é a transformada de Laplace e, em particular, a propriedade de deslocamento no tempo para funções multiplicadas por e^-a s.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que Ly''(t) = s^2Y(s) - s y(0) - y'(0) e Lde, obtemos:
Ly'' + 4y = s^2Y(s) + 4Y(s) = (s^2 + 4)Y(s),
LdeAssim, a equação no domínio de s fica
(s^2 + 4)Y(s) = e^-pi s

Passo 3

Isolando Y(s), temos
Y(s) = e^-pi ss^2 + 4
Isso mostra que o sistema responde como se fosse a função cuja transformada é 1/(s^2+4), mas deslocada em t=pi.

Passo 4

Sabemos que
L^-11s^2 + 4 = 12sin(2t)
e, pela propriedade de deslocamento no tempo,
L^-1e^-pi sF(s) = f(t - pi),u(t - pi)
Portanto, a solução no tempo é
y(t) = 12sinl(2(t - pi)r),u(t - pi),
onde u(t - pi) é o degrau de Heaviside.

Passo 5

Essa função satisfaz y(t)=0 para t e, logo após o impulso em t=pi, gera um senóide iniciando em zero, conforme esperado para uma entrada do tipo de.

Resposta

y(t) = tfrac12sinl(2(t - pi)r),u(t - pi).

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