Resolva o problema de valor inicial abaixo usando a transformada de Laplace:
Passo 1
Nesta questão, temos uma equação diferencial de segunda ordem com um impulso de Dirac:
, sujeita às condições iniciais
e
. O conteúdo aqui é a transformada de Laplace e, em particular, a propriedade de deslocamento no tempo para funções multiplicadas por
.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que
e
, obtemos:
Passo 3
Isolando
, temos
Isso mostra que o sistema responde como se fosse a função cuja transformada é
, mas deslocada em
.
Passo 4
Sabemos que
e, pela propriedade de deslocamento no tempo,
Portanto, a solução no tempo é
onde
é o degrau de Heaviside.
Passo 5
Essa função satisfaz
para
e, logo após o impulso em
, gera um senóide iniciando em zero, conforme esperado para uma entrada do tipo
.