(Cálculo de derivadas -2,5 pontos) Calcule usando as regras de derivação.
Dx(x raiz[4]x^4-5)=

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função usando as regras de derivação. A matéria envolvida aqui é o Cálculo de Derivadas, e vamos precisar usar principalmente a Regra do Produto e a Regra da Cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que fica mais fácil de derivar:
f(x) = x (x^4 - 5)^14
Aqui, temos um produto de duas funções: e .

Passo 3

Agora, vamos usar a Regra do Produto, que diz que se f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) , então:
Então, precisamos encontrar as derivadas de e .

Passo 4

Primeiro, derivamos u'(x) = 1 :
Fácil, né?

Passo 5

Agora, vamos derivar g'(z) = 14 z^-34 usando a Regra da Cadeia. A regra da cadeia é usada quando temos uma função dentro de outra função. Aqui, a função externa é h'(x) = 4x^3 e a interna é v'(x) = g'(h(x)) cdot h'(x) = 14 (x^4 - 5)^-34 cdot 4x^3 .
Derivando a função externa:
v'(x) = x^3 (x^4 - 5)^-34
Derivando a função interna:
Aplicando a regra da cadeia:
Podemos simplificar:

Passo 6

Agora que temos f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) = 1 cdot (x^4 - 5)^14 + x cdot x^3 (x^4 - 5)^-34 e f'(x) = (x^4 - 5)^14 + x^4 (x^4 - 5)^-34 , voltamos à Regra do Produto:
Vamos simplificar os termos:

Passo 7

Para deixar a expressão mais elegante, vamos fatorar f'(x) = (x^4 - 5)^-34 ( (x^4 - 5) + x^4 ) :
(x^4 - 5) + x^4 = 2x^4 - 5
Simplificando dentro dos parênteses:
f'(x) = (2x^4 - 5)(x^4 - 5)^-34
Então, temos:

Resposta

A derivada de f'(x) = (2x^4 - 5)(x^4 - 5)^-34 é:

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