(Cálculo de derivadas -3,0 pontos) Calcule usando as regras de derivação.
Dx(x^3 raiz3 x^4+2 xx+1)=

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função definida por
f(x)=x^3raiz3x^4+2xx+1
O conteúdo envolve a regra do quociente, já que é um quociente de funções; além disso, no numerador aparece um produto de x^3 por raiz3x^4+2x e uma raiz quadrada que exige a regra da cadeia.

Passo 2

Para usar a regra do quociente, definimos
u(x)=x^3raiz3x^4+2x, v(x)=x+1
Então
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2, v'(x)=1

Passo 3

Para obter u'(x) aplicamos a regra do produto em x^3 e h(x)=raiz3x^4+2x=(3x^4+2x)^1/2 e, dentro dela, a regra da cadeia:
u'(x)=3x^2raiz3x^4+2x+x^3cdot12(3x^4+2x)^1/2cdot(12x^3+2)
Simplificando,
u'(x)=3x^2raiz3x^4+2x+x^3(12x^3+2)2raiz3x^4+2x

Passo 4

Substituindo na regra do quociente,
f'(x)=l(3x^2raiz3x^4+2x+x^3(12x^3+2)2raiz3x^4+2xr)(x+1)-x^3raiz3x^4+2x(x+1)^2

Passo 5

Para simplificar, unimos os termos sobre o mesmo denominador 2raiz3x^4+2x, expandimos e agrupamos:
f'(x)=12x^7+15x^6+5x^4+7x^3(x+1)^2raiz3x^4+2x=x^3(12x^4+15x^3+5x+7)(x+1)^2raiz3x^4+2x

Resposta

f'(x)=x^3(12x^4+15x^3+5x+7)(x+1)^2raiz3x^4+2x

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