(Cálculo de derivabilidade-2,0 pontos) Ache os valores de
e
, tais que,
seja contínua e derivável em 2, se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes e precisa encontrar os valores de $ a $ e $ b $ para que a função seja contínua e derivável em $ x = 2 $. Isso envolve entender um pouco sobre continuidade e derivadas, mas vou explicar tudo direitinho para você.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em $ x = 2 $. Isso significa que o valor que a função se aproxima quando $ x $ chega em 2 pela esquerda tem que ser igual ao valor quando $ x $ é exatamente 2.
Passo 3
Vamos calcular o limite da função quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda ($ x \to 2^- $). Como para $ x < 2 $, a função é $ f(x) = a x + b $, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor da função exatamente em $ x = 2 $. Para $ x \geq 2 $, a função é $ f(x) = 2x^2 - 1 $, então:
Passo 5
Para a função ser contínua em $ x = 2 $, o limite pela esquerda deve ser igual ao valor da função em 2. Assim, temos a primeira equação:
Passo 6
Agora, vamos garantir que a função seja derivável em $ x = 2 $. Isso significa que a derivada da função pela esquerda em 2 deve ser igual à derivada pela direita em 2.
Passo 7
Primeiro, vamos encontrar a derivada da parte da função para $ x < 2 $. Como $ f(x) = a x + b $, a derivada é:
Então, a derivada pela esquerda em 2 é simplesmente $ a $.
Passo 8
Agora, vamos encontrar a derivada da parte da função para $ x \geq 2 $. Para $ f(x) = 2x^2 - 1 $, a derivada é:
Então, a derivada pela direita em 2 é:
Passo 9
Para a função ser derivável em $ x = 2 $, precisamos que:
Passo 10
Agora que sabemos que $ a = 8 $, vamos substituir esse valor na primeira equação para encontrar $ b $:
Resposta
Os valores são $ a = 8 $ e $ b = -9 $.