(Cálculo de derivabilidade-2,0 pontos) Ache os valores de a e b, tais que, f seja contínua e derivável em 2, se

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes e precisa encontrar os valores de $ a $ e $ b $ para que a função seja contínua e derivável em $ x = 2 $. Isso envolve entender um pouco sobre continuidade e derivadas, mas vou explicar tudo direitinho para você.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em $ x = 2 $. Isso significa que o valor que a função se aproxima quando $ x $ chega em 2 pela esquerda tem que ser igual ao valor quando $ x $ é exatamente 2.

Passo 3

Vamos calcular o limite da função quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda ($ x \to 2^- $). Como para $ x < 2 $, a função é $ f(x) = a x + b $, temos:
x

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor da função exatamente em $ x = 2 $. Para $ x \geq 2 $, a função é $ f(x) = 2x^2 - 1 $, então:
x = 2

Passo 5

Para a função ser contínua em $ x = 2 $, o limite pela esquerda deve ser igual ao valor da função em 2. Assim, temos a primeira equação:
x = 2

Passo 6

Agora, vamos garantir que a função seja derivável em $ x = 2 $. Isso significa que a derivada da função pela esquerda em 2 deve ser igual à derivada pela direita em 2.

Passo 7

Primeiro, vamos encontrar a derivada da parte da função para $ x < 2 $. Como $ f(x) = a x + b $, a derivada é:
x < 2
Então, a derivada pela esquerda em 2 é simplesmente $ a $.

Passo 8

Agora, vamos encontrar a derivada da parte da função para $ x \geq 2 $. Para $ f(x) = 2x^2 - 1 $, a derivada é:
x >= 2
Então, a derivada pela direita em 2 é:
f(x) = 2x^2 - 1

Passo 9

Para a função ser derivável em $ x = 2 $, precisamos que:
x = 2

Passo 10

Agora que sabemos que $ a = 8 $, vamos substituir esse valor na primeira equação para encontrar $ b $:
a = 8

Resposta

Os valores são $ a = 8 $ e $ b = -9 $.

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