Calcule integral sen(3 x) cos (2 x) d x

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a integral integral sin(3x) cos(2x) , dx. Vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que ajudam a transformar o produto de seno e cosseno em uma soma, facilitando a integração. Então, bora passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica bem útil:
sin(A) cos(B) = sin(A + B) + sin(A - B)2
Essa fórmula transforma o produto de seno e cosseno em uma soma de senos, o que torna a integral mais fácil de resolver.

Passo 3

Aplicando a identidade à nossa integral:
sin(3x) cos(2x) = sin(3x + 2x) + sin(3x - 2x)2 = sin(5x) + sin(x)2
Então, a integral fica:
integral sin(3x) cos(2x) , dx = integral sin(5x) + sin(x)2 , dx

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes:
integral sin(5x)2 , dx + integral sin(x)2 , dx
Isso fica:
12 integral sin(5x) , dx + 12 integral sin(x) , dx

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de sin(kx) é:
integral sin(kx) , dx = -1k cos(kx) + C
Onde k é uma constante.

Passo 6

Aplicando essa regra:
12 integral sin(5x) , dx = 12 ( -15 cos(5x) ) = -110 cos(5x)
E:
12 integral sin(x) , dx = 12 ( -cos(x) ) = -12 cos(x)

Passo 7

Juntando as duas partes:
-110 cos(5x) - 12 cos(x) + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral integral sin(3x) cos(2x) , dx é igual a:
-110 cos(5x) - 12 cos(x) + C

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