A velocidade linear de partículas em um corpo rígido que está em rotação com velocidade angular \omega é dada por
\vec{v}=\widehat{\varphi} \rho \omega
Integre \oint_{c} \vec{v} \cdot d \vec{\lambda} ao redor de um círculo no plano x y e verifique que
\frac{\oint_{c} \vec{v} \cdot d \vec{\lambda}}{\text { área }}=\vec{\nabla} \times\left.\vec{v}\right|_{z} .á

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Pede-se calcular a integral de linha ao redor de um círculo c no plano xy
    \oint_{c} \vec{v}\cdot d\vec{\lambda},
    para o campo de velocidades de um sólido em rotação com velocidade angular \omega,
    \vec{v}=\widehat{\varphi}\,\rho\,\omega,
    e verificar a relação
    \frac{\oint_{c} \vec{v} \cdot d \vec{\lambda}}{\text{área}}=\left.(\vec{\nabla}\times\vec{v})\right|_{z}.á
  • Informações relevantes dadas:
    • \omega é a velocidade angular (constante).
    • \rho é a coordenada radial na representação cilíndrica (distância ao eixo z).
    • \widehat{\varphi} é o vetor unitário tangencial (sentido azimutal) em coordenadas cilíndricas.
    • O caminho c é um círculo no plano xy. Vou assumir um círculo de raio R centrado na origem (isso é o caso típico e suficiente para verificar a identidade).

Passo 2

Entendendo o sistema de coordenadas e como parametrizear o círculo.
  • Coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z):
    • \rho=\sqrt{x^2+y^2} é a distância ao eixo z.
    • \varphi é o ângulo azimutal no plano xy.
    • \widehat{\rho} aponta radialmente para fora; \widehat{\varphi} é tangencial, obtido girando \widehat{\rho} em \tfrac{\pi}{2} no sentido positivo; \widehat{z} é perpendicular ao plano.
  • Parametrização do círculo de raio R no plano z=0:
    \vec{\lambda}(\varphi)=R\,\widehat{\rho}(\varphi),\qquad \varphi\in[0,2\pi].
    Um pequeno deslocamento ao longo do círculo é
    d\vec{\lambda}=R\,d\varphi\,\widehat{\varphi}.
    Esta fórmula vem da geometria do círculo: ou seja, ao variar o ângulo \varphi de d\varphi percorre-se um arco de comprimento R\,d\varphi na direção \widehat{\varphi}.

Passo 3

Calcular a integral de linha diretamente usando a parametrização cilíndrica.
  • No círculo \rho=R e z=0, o campo vale \vec{v}(\rho=R)=\widehat{\varphi}\,R\,\omega.
  • O produto escalar do integrando é \vec{v}\cdot d\vec{\lambda}=(\widehat{\varphi}\,R\,\omega)\cdot(R\,d\varphi\,\widehat{\varphi})=R^2\omega\,d\varphi,porque \widehat{\varphi}\cdot\widehat{\varphi}=1.
  • Integrando \varphi de 0 a 2\pi: \oint_{c}\vec{v}\cdot d\vec{\lambda}=\int_{0}^{2\pi}R^2\omega\,d\varphi=R^2\omega\,(2\pi)=2\pi R^2\omega.

Passo 4

Calcular a área do disco limitado por c e formar a razão pedida.
  • A área do círculo de raio R é \text{área}=\pi R^2.á
  • A razão entre a integral e a área é, então, \frac{\oint_{c}\vec{v}\cdot d\vec{\lambda}}{\text{área}}=\frac{2\pi R^2\omega}{\pi R^2}=2\omega.á

Passo 5

Calcular o componente z do rotacional \vec{\nabla}\times\vec{v} diretamente (componente de interesse).
  • Para trabalhar com derivadas parciais é prático escrever \vec{v} em coordenadas cartesianas. Usando \vec{\omega}=\omega\,\widehat{z} e \vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r} (velocidade de rotação rígida),
    \vec{v}=\omega\,\widehat{z}\times(x\,\widehat{x}+y\,\widehat{y})=\omega(-y\,\widehat{x}+x\,\widehat{y}).
    Aqui x e y são as coordenadas cartesianas no plano; verificação rápida: em cilíndricas (-y\widehat{x}+x\widehat{y}) tem magnitude \rho e direção \widehat{\varphi}, equivalente a \widehat{\varphi}\,\rho.
  • O componente z do rotacional é
    (\vec{\nabla}\times\vec{v})_{z}=\partial_x v_y-\partial_y v_x.
    Substituindo v_x=-\omega y e v_y=\omega x,
    \partial_x v_y=\partial_x(\omega x)=\omega, \qquad \partial_y v_x=\partial_y(-\omega y)=-\omega.
    Assim
    (\vec{\nabla}\times\vec{v})_{z}=\omega-(-\omega)=2\omega.

Passo 6

Interpretação física e relação com o Teorema de Stokes (aula rápida e conectando ideias).
  • O Teorema de Stokes diz que, para uma superfície S com bordo \partial S=c, \oint_{c}\vec{v}\cdot d\vec{\lambda}=\iint_{S}(\vec{\nabla}\times\vec{v})\cdot d\vec{S}.No nosso caso S é o disco no plano xy com normal \widehat{z}. Se (\vec{\nabla}\times\vec{v})_{z} for constante na região, a integral de superfície é simplesmente (\vec{\nabla}\times\vec{v})_{z} vezes a área. Isso dá \oint_{c}\vec{v}\cdot d\vec{\lambda}=(\vec{\nabla}\times\vec{v})_{z}\cdot(\text{área}).áDividindo ambos os lados por \text{área}á obtemos exatamente \frac{\oint_{c}\vec{v}\cdot d\vec{\lambda}}{\text{área}}=(\vec{\nabla}\times\vec{v})_{z}.á
  • No exemplo concreto, vimos que ambos os lados valem 2\omega. Isso confirma a igualdade buscada; fisicamente, a componente z do rotacional mede a rotação local do campo de velocidades e a circulação por unidade de área dá essa mesma taxa de rotação.

Resposta

\displaystyle \frac{\oint_{c}\vec{v}\cdot d\vec{\lambda}}{\text{área}}=(\vec{\nabla}\times\vec{v})_{z}=2\omegaá

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