A velocidade linear de partículas em um corpo rígido que está em rotação com velocidade angular \omega é dada por
\vec{v}=\widehat{\varphi} \rho \omega
Integre \oint_{c} \vec{v} \cdot d \vec{\lambda} ao redor de um círculo no plano x y e verifique que
\frac{\oint_{c} \vec{v} \cdot d \vec{\lambda}}{\text { área }}=\vec{\nabla} \times\left.\vec{v}\right|_{z} .
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos.
Pede-se calcular a integral de linha ao redor de um círculo c no plano xy
\oint_{c} \vec{v}\cdot d\vec{\lambda},
para o campo de velocidades de um sólido em rotação com velocidade angular \omega,
\vec{v}=\widehat{\varphi}\,\rho\,\omega,
e verificar a relação
\frac{\oint_{c} \vec{v} \cdot d \vec{\lambda}}{\text{área}}=\left.(\vec{\nabla}\times\vec{v})\right|_{z}.á
Informações relevantes dadas:
\omega é a velocidade angular (constante).
\rho é a coordenada radial na representação cilíndrica (distância ao eixo z).
\widehat{\varphi} é o vetor unitário tangencial (sentido azimutal) em coordenadas cilíndricas.
O caminho c é um círculo no plano xy. Vou assumir um círculo de raio R centrado na origem (isso é o caso típico e suficiente para verificar a identidade).
Passo 2
Entendendo o sistema de coordenadas e como parametrizear o círculo.
Coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z):
\rho=\sqrt{x^2+y^2} é a distância ao eixo z.
\varphi é o ângulo azimutal no plano xy.
\widehat{\rho} aponta radialmente para fora; \widehat{\varphi} é tangencial, obtido girando \widehat{\rho} em \tfrac{\pi}{2} no sentido positivo; \widehat{z} é perpendicular ao plano.
Esta fórmula vem da geometria do círculo: ou seja, ao variar o ângulo \varphi de d\varphi percorre-se um arco de comprimento R\,d\varphi na direção \widehat{\varphi}.
Passo 3
Calcular a integral de linha diretamente usando a parametrização cilíndrica.
No círculo \rho=R e z=0, o campo vale\vec{v}(\rho=R)=\widehat{\varphi}\,R\,\omega.
O produto escalar do integrando é\vec{v}\cdot d\vec{\lambda}=(\widehat{\varphi}\,R\,\omega)\cdot(R\,d\varphi\,\widehat{\varphi})=R^2\omega\,d\varphi,porque \widehat{\varphi}\cdot\widehat{\varphi}=1.
Integrando \varphi de 0 a 2\pi:\oint_{c}\vec{v}\cdot d\vec{\lambda}=\int_{0}^{2\pi}R^2\omega\,d\varphi=R^2\omega\,(2\pi)=2\pi R^2\omega.
Passo 4
Calcular a área do disco limitado por c e formar a razão pedida.
A área do círculo de raio R é\text{área}=\pi R^2.á
A razão entre a integral e a área é, então,\frac{\oint_{c}\vec{v}\cdot d\vec{\lambda}}{\text{área}}=\frac{2\pi R^2\omega}{\pi R^2}=2\omega.á
Passo 5
Calcular o componente z do rotacional \vec{\nabla}\times\vec{v} diretamente (componente de interesse).
Para trabalhar com derivadas parciais é prático escrever \vec{v} em coordenadas cartesianas. Usando \vec{\omega}=\omega\,\widehat{z} e \vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r} (velocidade de rotação rígida),
Aqui x e y são as coordenadas cartesianas no plano; verificação rápida: em cilíndricas (-y\widehat{x}+x\widehat{y}) tem magnitude \rho e direção \widehat{\varphi}, equivalente a \widehat{\varphi}\,\rho.
Interpretação física e relação com o Teorema de Stokes (aula rápida e conectando ideias).
O Teorema de Stokes diz que, para uma superfície S com bordo \partial S=c,\oint_{c}\vec{v}\cdot d\vec{\lambda}=\iint_{S}(\vec{\nabla}\times\vec{v})\cdot d\vec{S}.No nosso caso S é o disco no plano xy com normal \widehat{z}. Se (\vec{\nabla}\times\vec{v})_{z} for constante na região, a integral de superfície é simplesmente (\vec{\nabla}\times\vec{v})_{z} vezes a área. Isso dá\oint_{c}\vec{v}\cdot d\vec{\lambda}=(\vec{\nabla}\times\vec{v})_{z}\cdot(\text{área}).áDividindo ambos os lados por \text{área}á obtemos exatamente\frac{\oint_{c}\vec{v}\cdot d\vec{\lambda}}{\text{área}}=(\vec{\nabla}\times\vec{v})_{z}.á
No exemplo concreto, vimos que ambos os lados valem 2\omega. Isso confirma a igualdade buscada; fisicamente, a componente z do rotacional mede a rotação local do campo de velocidades e a circulação por unidade de área dá essa mesma taxa de rotação.