Para o escoamento de um fluido viscoso incompressível, as equações de Navier-Stokes levam a
Aqui,
é a densidade do fluido. Para escoamento axial em um cano cilíndrico admitimos que a velocidade
é
(a) Para essa escolha de
mostre que
(b) Mostre que
implica na equação diferencial
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: o campo de velocidade para escoamento axial em um cano cilíndrico é
ou seja, só a componente na direção
é não nula, e essa componente depende apenas da coordenada radial
.
- Dado: a equação vetorial de interesse (vinda das Navier–Stokes) é
O enunciado pede duas coisas:
(a) Mostrar que, para ,
(a) Mostrar que, para
(b) Partindo de
mostrar que isso implica a equação diferencial escalar
Passo 2
Primeiro calculo o rotacional de
:
.
Para campos em coordenadas cilíndricas
é conveniente usar as fórmulas padrões para o rotacional. As componentes são
No nosso caso,
,
e
(dependendo só de
), então cada termo simplifica:
-
(pois e ); -
(pois e ); -
.
Portanto o rotacional é
Aqui
é o versor azimutal (dependente de
), e escrevi
como
.
Passo 3
Calculo agora o produto vetorial
.
Temos
e
. Então
Usando as regras de produto vetorial dos versores cilíndricos (o sistema
é ortonormal e dextrógiro), sabe-se que
Logo
Defino a função escalar
. Assim
Passo 4
Calculo o rotacional de
, ou seja
.
Para um campo que tem apenas componente radial
e
, as fórmulas do rotacional em coordenadas cilíndricas dão
No nosso caso
e
depende só de
, portanto
. Assim
Todas as componentes do rotacional são zero, logo
Isto prova o item (a).
Passo 5
Agora trato o item (b). Já determinei que
Denoto
. O enunciado pede que, impondo
se obtenha uma equação escalar para
.
Para fields puramente azimutais que dependem apenas de
(isto é,
com
independente de
e
), existe a fórmula padrão (frequentemente encontrada em tabelas de operadores em coordenadas cilíndricas):
(Justificação curta: o operador laplaciano vetorial age sobre cada componente e deve levar em conta que
depende de
; para o caso axisimétrico
a expressão acima resulta depois de aplicar as fórmulas componentes ou expressar o campo em coordenadas cartesianas e usar a laplaciana escalar nas componentes.)
Passo 6
Usando a fórmula do Passo 5 com
, a condição
equivale a anular o fator escalar entre parênteses:
Simplifico os sinais. Primeiro
Substituindo:
Coloco o sinal negativo em evidência:
Multiplicando por
obtemos a forma desejada:
Isso conclui a dedução pedida no item (b).