Cálculo de funções trigonométricas utilizando uma calculadora:
Para o ângulo 30^{\circ}, calcular o valor do seno, cosseno e tangente

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor do seno, do cosseno e da tangente do ângulo \;30^\circ\; usando uma calculadora. Informação dada: o ângulo é \;30^\circ\;. Objetivo: encontrar \sin(30^\circ), \cos(30^\circ) e \tan(30^\circ).

Passo 2

Vamos lembrar, de forma bem direta e prática, o que significam essas funções (essa é a parte que você precisa entender para a prova): para um ângulo \theta em um triângulo retângulo temos
\sin(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}},\qquad \cos(\theta)=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}},\qquad \tan(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.
Outra forma muito útil (e curta) é lembrar que, no círculo trigonométrico de raio 1,
\sin(\theta)=y\quad\text{e}\quad\cos(\theta)=x,
onde (x,y) é a coordenada do ponto correspondente ao ângulo \theta. E sempre vale a relação
\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}.
Aqui cada símbolo significa: \theta é o ângulo (no nosso caso \;30^\circ), \sin, \cos, \tan são as funções trigonométricas.

Passo 3

Agora uma derivação clássica e bem prática para os valores de \;30^\circ: considere um triângulo equilátero com lado igual a 2. Se você traçar a altura, ela divide o triângulo em dois triângulos retângulos congruentes com ângulos 30^\circ, 60^\circ e 90^\circ. Em um desses triângulos retângulos, as medidas dos lados são:
  • hipotenusa =2 (era um lado do equilátero),
  • cateto menor (oposto a \;30^\circ) =1 (a altura divide a base em duas partes iguais de comprimento 1),
  • o outro cateto (adjacente a \;30^\circ) obtém-se por Pitágoras:
\text{cateto adjacente}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}.
Portanto, no triângulo retângulo com ângulo \;30^\circ temos lados 1, \sqrt{3} e 2 (respectivamente oposto, adjacente e hipotenusa).

Passo 4

Com os comprimentos prontos, calculamos as razões:
\sin(30^\circ)=\frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa} }=\frac{1}{2}.
Expliquei de novo: \sin(30^\circ) é o cateto oposto (que vale 1) dividido pela hipotenusa (que vale 2).

Passo 5

Agora o cosseno:
\cos(30^\circ)=\frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Ou seja, o cateto adjacente (que vale \sqrt{3}) sobre a hipotenusa ( 2).

Passo 6

E a tangente pode ser obtida diretamente como \tan=\dfrac{\sin}{\cos} ou pela razão dos catetos:
\tan(30^\circ)=\frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Se preferir racionalizar o denominador:
\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.

Passo 7

Como o enunciado citou “utilizando uma calculadora”, aqui vai o procedimento prático que você deve fazer na prova para evitar erro bobão:
  1. Verifique que a calculadora está em modo graus (degree), não radianos. Isso costuma aparecer como \text{DEG} na tela. Se estiver em \text{RAD}, altere para \text{DEG}.
  2. Tecle \sin(30^\circ), \cos(30^\circ) e \tan(30^\circ) — alguns modelos pedem que você digite primeiro o ângulo e depois a função, outros a função e depois o ângulo; atenção ao seu modelo.
  3. Você verá os valores numéricos; pelas identidades exatas que acabamos de obter, o resultado que a calculadora deve mostrar (aproximações) é:
\sin(30^\circ)=0,5,\qquad \cos(30^\circ)\approx 0,8660254038,\qquad \tan(30^\circ)\approx 0,5773502692.
Lembre-se de usar vírgula como separador decimal se o professor/caderno pedir (aqui eu usei vírgula).

Passo 8

Pequena checagem rápida (para você confiar no resultado): calcule numericamente \dfrac{\sin(30^\circ)}{\cos(30^\circ)} na calculadora. Deve dar aproximadamente 0,5/0,8660254038\approx 0,5773502692, que coincide com \tan(30^\circ). Tudo consistente — pode respirar aliviado!

Resposta

\sin(30^\circ)=\dfrac{1}{2}=0,5
\cos(30^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660254038
\tan(30^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,5773502692

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