Cálculo de funções trigonométricas utilizando uma calculadora:
Para o ângulo 22^{\circ} 09^{\prime} 04^{\prime \prime}, calcular o valor do seno, cosseno e tangente

Passo 1

O enunciado pede: calcular o seno, o cosseno e a tangente do ângulo \,22^{\circ}\;09'\;04''\,.
Informações dadas: o ângulo está em graus, minutos e segundos (DMS): graus 22, minutos 9, segundos 4.
Perguntas explícitas a responder: calcular \sin, \cos e \tan desse ângulo e fornecer os valores numéricos.

Passo 2

Primeiro passo prático: transformar o ângulo de graus-minutos-segundos para graus decimais, porque a maioria das calculadoras aceita o ângulo em graus decimais (ou em radianos). A fórmula de conversão é
\text{graus decimais} = \text{graus} + \frac{\text{minutos}}{60} + \frac{\text{segundos}}{3600}.
Aplicando ao nosso ângulo:
\text{graus decimais} = 22 + \frac{9}{60} + \frac{4}{3600}.
Calcule as frações:
\frac{9}{60} = 0,15,\qquad \frac{4}{3600} = 0,001111\overline{1}.
Somando:
\text{graus decimais} = 22 + 0,15 + 0,001111\overline{1} = 22,151111\overline{1}.
Também podemos escrever exatamente como fração:
22,151111\overline{1}=\frac{79744}{3600}=\frac{4984}{225}.

Passo 3

Explicação sobre modos da calculadora e conversão para radianos:
  • Muitas calculadoras têm modo “DEG” (graus). Se a sua está em DEG, você pode inserir diretamente \sin(22,151111\overline{1}^\circ).
  • Se a sua calculadora estiver em RAD (radianos), é preciso converter graus para radianos usando
\text{radianos} = \text{graus} \times \frac{\pi}{180}.
Convertendo o nosso valor:
\text{radianos} = 22,151111\overline{1}\times\frac{\pi}{180} \approx 0,3866098218639884\\ \text{rad}.
Observação prática: é mais direto colocar a calculadora em DEG e usar o valor em graus decimais.

Passo 4

Breve aula sobre seno, cosseno e tangente (intuitiva e prática para prova):
  • Seno e cosseno são razões em um triângulo retângulo ou coordenadas de um ponto na circunferência unitária. Para um ângulo \theta: \sin(\theta)=\text{oposto}/\text{hipotenusa},\qquad \cos(\theta)=\text{adjacente}/\text{hipotenusa}.
  • Tangente é a razão seno sobre cosseno: \tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}.
Na prática de prova com calculadora: depois de garantir que a calculadora está em DEG, digite \sin(22,151111\overline{1}), \cos(22,151111\overline{1}) e divida seno por cosseno para obter a tangente (ou use a tecla \tan).

Passo 5

Como eu faria na prova, passo a passo na calculadora (modo DEG recomendado):
  1. Ajuste a calculadora para o modo DEG (procure tecla MODE → DEG).
  2. Insira o ângulo em graus decimais: \,22,151111\overline{1}\,. Se sua calculadora aceita DMS, você pode também inserir diretamente \,22^\circ 09' 04'' usando a função DMS→DEC; se não, use o valor decimal.
  3. Pressione \sin e leia o resultado; em seguida pressione \cos e leia; por fim pressione \tan ou calcule \sin/\cos.

Passo 6

Cálculo numérico (valores obtidos na calculadora, com arredondamento razoável para prova). Usando o ângulo \,22,151111\overline{1}^\circ em modo DEG, obtemos:
\sin(22,151111\overline{1}^\circ)\approx 0,377051,
\cos(22,151111\overline{1}^\circ)\approx 0,926196,
\tan(22,151111\overline{1}^\circ)=\frac{\sin}{\cos}\approx 0,407097.

Passo 7

Checagem rápida (identidade pitagórica) para conferir que os números não estão absurdos:
\sin^2\theta+\cos^2\theta\approx (0,377051)^2+(0,926196)^2\approx 0,14213+0,85787\approx 1,00000,
o que confirma coerência numérica dos valores apresentados.

Resposta

\sin(22^{\circ}09'04'')\approx 0,377051
\cos(22^{\circ}09'04'')\approx 0,926196
\tan(22^{\circ}09'04'')\approx 0,407097

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