Encontre a matriz fundamental de cada um dos sistemas
tendo como matriz de coeficientes cada uma das matrizes abaixo. Também encontre a solução particular satisfazendo a condição inicial.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer. Temos um sistema de equações diferenciais da forma
, onde
é uma matriz dada. Nosso objetivo é encontrar a matriz fundamental desse sistema e também uma solução particular que satisfaça a condição inicial
. Para isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores da matriz
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores
são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde
é a matriz identidade. Então, temos:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 3
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes.
Para
:
Da primeira equação:
. Podemos escolher
, então
.
Para
:
Da primeira equação:
. Podemos escolher
, então
.
Passo 4
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos construir a matriz fundamental
. Para sistemas com autovalores distintos e reais, a matriz fundamental é composta pelos vetores autovetor multiplicados por
.
Então,
Passo 5
A solução geral do sistema é dada por:
Onde
é o vetor de constantes a serem determinadas.
Expandindo:
Passo 6
Para encontrar a solução particular que satisfaz a condição inicial
, substituímos
na solução geral:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo:
Adicionando as duas equações:
Substituindo em
:
Resposta
A solução particular que satisfaz a condição inicial é: