Encontre a matriz fundamental de cada um dos sistemas x^prime=A x tendo como matriz de coeficientes cada uma das matrizes abaixo. Também encontre a solução particular satisfazendo a condição inicial.
(a) A=(ll1 & 2 4 & 3) ; x0=binom33

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer. Temos um sistema de equações diferenciais da forma x^prime = A x, onde A é uma matriz dada. Nosso objetivo é encontrar a matriz fundamental desse sistema e também uma solução particular que satisfaça a condição inicial x0 = 3 3 . Para isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores da matriz A.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A. Os autovalores lambda são encontrados resolvendo a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade. Então, temos:
A - lambda I = 1 - lambda & 2 4 & 3 - lambda
Calculando o determinante:
(1 - lambda)(3 - lambda) - (2)(4) = lambda^2 - 4lambda - 5 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
lambda = 4 pm raiz(4)^2 + 202 = 4 pm 62 implies lambda1 = 5 e lambda2 = -1

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes.
Para lambda1 = 5:
(A - 5I)v = 0 implies -4 & 2 4 & -2 v1 v2 = 0 0
Da primeira equação: -4v1 + 2v2 = 0 implies v2 = 2v1. Podemos escolher v1 = 1, então v^(1) = 1 2 .
Para lambda2 = -1:
(A + I)v = 0 implies 2 & 2 4 & 4 v1 v2 = 0 0
Da primeira equação: 2v1 + 2v2 = 0 implies v1 = -v2. Podemos escolher v2 = 1, então v^(2) = 1 -1 .

Passo 4

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos construir a matriz fundamental Phi(t). Para sistemas com autovalores distintos e reais, a matriz fundamental é composta pelos vetores autovetor multiplicados por e^lambda t.
Então,
Phi(t) = e^5t & e^-t 2e^5t & -e^-t

Passo 5

A solução geral do sistema é dada por:
x(t) = Phi(t) c
Onde c = c1 c2 é o vetor de constantes a serem determinadas.
Expandindo:
x(t) = c1 e^5t 1 2 + c2 e^-t 1 -1 = c1 e^5t + c2 e^-t 2c1 e^5t - c2 e^-t

Passo 6

Para encontrar a solução particular que satisfaz a condição inicial x0 = 3 3 , substituímos t = 0 na solução geral:
x(0) = c1 + c2 2c1 - c2 = 3 3
Isso nos dá o sistema de equações:
c1 + c2 = 3 2c1 - c2 = 3
Resolvendo:
Adicionando as duas equações:
3c1 = 6 implies c1 = 2
Substituindo em c1 + c2 = 3:
2 + c2 = 3 implies c2 = 1

Resposta

A solução particular que satisfaz a condição inicial é:
x(t) = 2 e^5t 1 2 + e^-t 1 -1 = 2 e^5t + e^-t 4 e^5t - e^-t

Exercícios relacionados