No cálculo da integral dupla de uma função f sobre uma região D foi obtida uma soma de integrais iteradas como a que se segue
integral duplaD f(x, y) d A=integral0^1 integral0^2 y f(x, y) d x d y+integral1^3 integral0^3-y f(x, y) d x d y
Expresse a integral dupla em uma única integral iterada com ordem de integração contrária.

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla sobre a região D expressa como duas integrais iteradas em ordem dy dx: de y=0 a 1 com x variando de 0 a 2y, e de y=1 a 3 com x variando de 0 a 3–y. O conteúdo é troca de ordem de integração, e vamos precisar descrever geometricamente D e projetá-la sobre o eixo x para inverter a ordem.

Passo 2

A região D é a união de duas faixas: para 0≤y≤1 temos 0≤x≤2y (reta x=2y), e para 1≤y≤3 temos 0≤x≤3–y (reta x+y=3). Os limites verticais de D vão de y=0 até y=3.

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos D no eixo x. O menor x em D é 0 (eixo y) e o maior x é dado na interseção das duas curvas: 2y=3–y ⇒ y=1 ⇒ x=2. Logo x varia de 0 a 2.

Passo 4

Para um x fixo em [0,2], o ponto (x,y) pertence a D se satisfaz simultaneamente x≤2y ⇒ y≥x/2 e x≤3–y ⇒ y≤3–x. Note que para x em [0,2] temos x/2≤1≤3–x, então as duas faixas em y se juntam numa só: x/2≤y≤3–x. Portanto a integral dupla em ordem inversa fica
reunida como uma única iterada em dx dy invertido:

Resposta

integral duplaD f(x,y),dA = integralx=0^2 integraly=tfracx2^,3 - x f(x,y),dy,dx

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