Considere o problema de valor inicial
l 4 y^prime prime-y=0 y(0)=2 y^prime(0)=alpha
Determine o valor de alpha para o qual a solução tenda a zero quando t infty.
Resposta: square

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial com uma equação diferencial bem legal:
l 4 y^prime prime-y=0 y(0)=2 y^prime(0)=alpha
O que a gente precisa descobrir é o valor de alpha que faz a solução dessa equação ir para zero quando t fica bem grande, ou seja, quando t infty. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de segunda ordem e condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
4 y^prime prime - y = 0
Para isso, a gente assume que a solução tem a forma y(t) = e^rt, onde r é uma constante que a gente precisa encontrar. Vamos substituir na equação:
4 (r^2 e^rt) - e^rt = 0
Dividindo por e^rt (que nunca é zero), sobra:
4 r^2 - 1 = 0
Resolvendo para r:
4 r^2 = 1 Rightarrow r^2 = 14 Rightarrow r = pm 12

Passo 3

Com os valores de r encontrados, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^12 t + C2 e^-12 t
Aqui, C1 e C2 são constantes que a gente vai determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Vamos usar a condição inicial y(0) = 2. Substituindo t = 0 na solução geral:
2 = C1 e^0 + C2 e^0 Rightarrow 2 = C1 + C2
Então, temos a primeira equação:
C1 + C2 = 2 (1)

Passo 5

Agora, vamos usar a segunda condição inicial y'(0) = alpha. Primeiro, calculamos a derivada de y(t):
y'(t) = 12 C1 e^12 t - 12 C2 e^-12 t
Substituindo t = 0:
alpha = 12 C1 - 12 C2
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
2 alpha = C1 - C2 (2)

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações:
C1 + C2 = 2 C1 - C2 = 2 alpha
Vamos somar as duas equações:
2 C1 = 2 + 2 alpha Rightarrow C1 = 1 + alpha
Substituindo C1 na primeira equação:
1 + alpha + C2 = 2 Rightarrow C2 = 1 - alpha

Passo 7

Agora, nossa solução fica:
y(t) = (1 + alpha) e^12 t + (1 - alpha) e^-12 t
Queremos que y(t) tenda a zero quando t infty. Olhando para os termos:
  • e^12 t cresce para infinito se o coeficiente 1 + alpha neq 0.
  • e^-12 t vai para zero sempre.
Para que a solução tenda a zero, o termo que cresce deve desaparecer. Ou seja:
1 + alpha = 0 Rightarrow alpha = -1

Resposta

O valor de alpha é -1.

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