Determine o valor de alpha para o qual a solução tenda a zero quando t infty.
Resposta: square
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial com uma equação diferencial bem legal:
l 4 y^prime prime-y=0 y(0)=2 y^prime(0)=alpha
O que a gente precisa descobrir é o valor de alpha que faz a solução dessa equação ir para zero quando t fica bem grande, ou seja, quando t infty. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de segunda ordem e condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
4 y^prime prime - y = 0
Para isso, a gente assume que a solução tem a forma y(t) = e^rt, onde r é uma constante que a gente precisa encontrar. Vamos substituir na equação: