Esboce o gráfico das seguintes funções:
y=1(x+1)^2.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função racional y=1(x+1)^2. Esse conteúdo é do estudo de funções racionais e transformações de gráficos. Vamos usar o gráfico básico de y=1x^2 e aplicar um deslocamento horizontal para resolver.

Passo 2

Determinar domínio e imagem. A função só está definida quando o denominador é diferente de zero, ou seja x+1neq0, logo o domínio é y>0. Como o quadrado é sempre positivo e o numerador é 1, a imagem é .

Passo 3

Identificar assíntotas. A assíntota vertical ocorre onde o denominador zera, em x=-1. A assíntota horizontal vem do limite quando xtopm∞, resultando em y=0.

Passo 4

Entender a transformação. Comparando com y=1x^2, definimos u=x+1, então y=1u^2 tem seu gráfico original, mas deslocado 1 unidade para a esquerda devido à substituição u=x+1.

Passo 5

Calcular pontos-chave para guiar o esboço. Por exemplo: para x=-2 temos y=1(-2+1)^2=1; para x=0 temos y=1(0+1)^2=1; para x=-3 temos y=1(-3+1)^2=tfrac14; para x=1 temos y=tfrac14.

Passo 6

Esboçar o gráfico unindo as informações: dois ramos em x<-1 e x>-1, sempre com y>0, aproximando-se das assíntotas x=-1 (vertical) e y=0 (horizontal). Use os pontos calculados para posicionar as curvas.

Resposta

O gráfico tem dois ramos semelhantes ao de y=1/x^2, deslocados 1 unidade para a esquerda. Há assíntota vertical em x=-1 e horizontal em y=0. O ramo em x<-1 parte de +∞ em xto-1^- e decai para 0 em xto-∞; o ramo em x>-1 parte de +∞ em xto-1^+ e decai para 0 em xto+∞. Pontos de referência: (-2,1), (-3,tfrac14), (0,1) e (1,tfrac14).

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