Exercício 0.11 Encontre os extremos relativos da função usando o Teste da Derivada Segunda.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos relativos da função
usando o Teste da Derivada Segunda. Pra isso, vamos precisar saber como calcular derivadas e aplicar esse teste pra ver onde a função tem máximos ou mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a primeira derivada da função
. A derivada nos ajuda a descobrir onde a função está aumentando ou diminuindo. Usamos a regra da potência para derivar cada termo:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde
ou onde a derivada não está definida. Vamos igualar a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os negativos:
Resolvendo para
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Vamos agora calcular a segunda derivada
. Ela vai nos ajudar a determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo:
Passo 5
Aplicando o Teste da Derivada Segunda no ponto crítico
:
Como
, isso indica que a função tem um mínimo relativo em
.
Resposta
A função
possui um mínimo relativo em
com coordenada
.