Exercício 0.11 Encontre os extremos relativos da função usando o Teste da Derivada Segunda.
g(t)=t^23-2 t^13.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos relativos da função usando o Teste da Derivada Segunda. Pra isso, vamos precisar saber como calcular derivadas e aplicar esse teste pra ver onde a função tem máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a primeira derivada da função g'(t) = 23 t^-13 - 23 t^-23 . A derivada nos ajuda a descobrir onde a função está aumentando ou diminuindo. Usamos a regra da potência para derivar cada termo:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de 23 t^-13 - 23 t^-23 = 0 onde 23 t^13 - 23 = 0 ou onde a derivada não está definida. Vamos igualar a derivada a zero:
2 t^13 - 2 = 0 implies t^13 = 1 implies t = 1
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os negativos:
Resolvendo para :
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Vamos agora calcular a segunda derivada g''(t) = -29 t^-43 + 49 t^-53 . Ela vai nos ajudar a determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo:

Passo 5

Aplicando o Teste da Derivada Segunda no ponto crítico g''(1) = -29 (1)^-43 + 49 (1)^-53 = -29 + 49 = 29 :
Como , isso indica que a função tem um mínimo relativo em .

Resposta

A função possui um mínimo relativo em com coordenada .

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