Exercício 0.12 Calcule os seguintes limites:
lim x 0 x1-e^x.

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está no âmbito do cálculo de limites, especificamente lidando com funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como se comporta a função exponencial perto de zero e aplicar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma indeterminação do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 01 - e^0 = 01 - 1 = 00 diretamente na função para ver se conseguimos encontrar o limite de forma simples:
Isso nos dá uma indeterminação do tipo , o que significa que precisamos usar outra técnica para resolver o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma indeterminação limx to a f'(x)g'(x) , uma ferramenta útil é a regra de L’Hôpital. Essa regra diz que se resulta em ou , então podemos calcular:
Então, vamos derivar o numerador e o denominador da nossa função.

Passo 4

Calculando as derivadas:
  • Derivada do numerador f'(x) = 1 :
    g'(x) = -e^x
  • Derivada do denominador :

Passo 5

Agora aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo pelas derivadas:
lim x 0 f'(x)g'(x) = lim x 0 1-e^x = 1-e^0 = 1-1 = -1

Resposta

O limite é igual a .

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