Exercício 0.12 Calcule os seguintes limites:
.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício está no âmbito do cálculo de limites, especificamente lidando com funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como se comporta a função exponencial perto de zero e aplicar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma indeterminação do tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
diretamente na função para ver se conseguimos encontrar o limite de forma simples:
Isso nos dá uma indeterminação do tipo
, o que significa que precisamos usar outra técnica para resolver o limite.
Passo 3
Quando encontramos uma indeterminação
, uma ferramenta útil é a regra de L’Hôpital. Essa regra diz que se
resulta em
ou
, então podemos calcular:
Então, vamos derivar o numerador e o denominador da nossa função.
Passo 4
Calculando as derivadas:
-
Derivada do numerador
: -
Derivada do denominador
:
Passo 5
Agora aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo pelas derivadas:
Resposta
O limite
é igual a
.