ache , determine onde é contínua e ache , e ache .

Passo 1

O enunciado dá a função de vetor
bar F(t)=raizt,bar i ;+;e^-3t,bar j;+;t,bar k
e pede:
limtto t0bar F(t) com t0=4,
– onde bar F é contínua,
bar F'(t0) e bar F''(t0).
Vamos usar que limites, continuidade e derivadas se aplicam componente a componente.

Passo 2

Calcular limtto4bar F(t) trocando t por 4 em cada componente:
limtto4raizt=2, limtto4e^-3t=e^-12, limtto4t=4
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limtto4bar F(t)=2,bar i+e^-12,bar j+4,bar k

Passo 3

O domínio de bar F é t>=0 (para raizt exigimos t>=0). Cada componente ( raizt, e^-3t, t) é contínua em [0,infty). Portanto
bar F é contínua em [0,infty) éí

Passo 4

Derivar componente a componente para obter bar F'(t):
ddtl(raiztr)=12raizt, ddtl(e^-3tr)=-3e^-3t, ddt(t)=1
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bar F'(t)=12raizt,bar i ;-;3e^-3t,bar j;+;bar k

Passo 5

Avaliar em t=4:
bar F'(4)=12raiz4,bar i -3e^-12,bar j+bar k =14,bar i -3e^-12,bar j+bar k

Passo 6

Derivar de novo para obter bar F''(t):
ddtl(tfrac12raiztr) =-14,t^3/2, ddtl(-3e^-3tr)=9e^-3t, ddt(1)=0
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bar F''(t)=-14,t^3/2,bar i ;+;9e^-3t,bar j;+;0,bar k

Passo 7

Avaliar em t=4:
bar F''(4)=-14cdot 4^3/2,bar i+9e^-12,bar j+0,bar k =-132,bar i+9e^-12,bar j+;0,bar k

Resposta

limtto4bar F(t)=2,bar i+e^-12,bar j+4,bar k
bar F é contínua em [0,infty)
bar F'(4)=tfrac14,bar i-3e^-12,bar j+bar k
bar F''(4)=-tfrac132,bar i+9e^-12,bar j+0,bar k

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