calcule os primeiros cinco termos de cada série, e então calcule os cinco primeiros termos da sequência sn de suas somas parciais. Encontre uma fórmula “simples” para n-ésima soma parcial sn em função de n, determine se a série converge ou diverge e, se convergir, encontre sua soma S=lim n +infty sn.
sumk=1^infty ln (1-22 k+3)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
sumk=1^infty ln!l(1-tfrac22k+3r).
Vamos calcular os cinco primeiros termos ak, depois as cinco primeiras somas parciais sn, encontrar uma expressão geral para
sn=sumk=1^n ak
e estudar o limite limntoinftysn para ver se a série converge.

Passo 2

Para facilitar, note que
ak = ln!l(1-22k+3r) = ln!l(2k+3-22k+3r) = ln!l(2k+12k+3r)
Então os cinco primeiros termos são:
a1 = ln!l(tfrac35r),
a2 = ln!l(tfrac57r),
a3 = ln!l(tfrac79r),
a4 = ln!l(tfrac911r),
a5 = ln!l(tfrac1113r)

Passo 3

As somas parciais são
sn = sumk=1^n ln!l(2k+12k+3r) = ln!l(prodk=1^n 2k+12k+3r)
Para n=1,dots,5 temos
s1 = ln!l(tfrac35r),
s2 = ln!l(tfrac37r),
s3 = ln!l(tfrac39r)=ln!l(tfrac13r),
s4 = ln!l(tfrac311r),
s5 = ln!l(tfrac313r)

Passo 4

Observe que na expressão do produto todos os termos intermediários se cancelam:
prodk=1^n 2k+12k+3 = 3cdot5cdot7cdots(2n+1)5cdot7cdot9cdots(2n+3) = 32n+3
Logo a fórmula geral da soma parcial é
sn = ln!l(tfrac32n+3r)

Passo 5

Para estudar a convergência, calcule o limite
limntoinfty sn = limntoinfty ln!l(32n+3r) = ln(0^+) = -infty
Isso significa que as somas parciais tendem a -infty, ou seja, a série diverge (vai a -infty).

Resposta

Os cinco primeiros termos são
ln!l(tfrac35r),;ln!l(tfrac57r),;ln!l(tfrac79r),;ln!l(tfrac911r),;ln!l(tfrac1113r)
As cinco primeiras somas parciais são
ln!l(tfrac35r),;ln!l(tfrac37r),;ln!l(tfrac13r),;ln!l(tfrac311r),;ln!l(tfrac313r)
A fórmula geral é
sn = ln!l(32n+3r)
Como limntoinftysn=-infty, a série diverge para -infty.

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