É dado um conjunto de circuitos de corrente interagentes em um meio magnético linear. Todos os circuitos, com exceção do circuito 1 , se mantêm estacionários, permitindo-se, porém, ao circuito I que se mova rigidamente. As correntes são mantidas constantes por meio de baterias. Demonstre, a partir da combinação das Eqs. (12-4), (12-6) e (12-8), que o trabalho mecânico realizado pelo circuito em movimento é d W^{\prime}=I_{1} d \Phi_{1}, onde d \Phi_{1} é a variação do fluxo que atravessa o circuito 1 .

Passo 1

O enunciado trata de um conjunto de circuitos mutuamente indutivos em um meio magnético linear. Todos estão fixos, exceto o circuito 1, que se desloca rigidamente. As correntes I_i são mantidas constantes por baterias. Queremos mostrar, a partir das equações
\Phi_i=\sum_{j}L_{ij}\,I_j \tag{12-6}
U_{\rm mag}=\tfrac12\sum_{i,j}L_{ij}\,I_i\,I_j \tag{12-8}
e da conservação de energia (Eq. 12-4), que o trabalho mecânico realizado pelo circuito em movimento satisfaz
dW' = I_{1}\,d\Phi_{1}\,.

Passo 2

Escrevemos a energia magnética total a partir de (12-8):
U_{\rm mag}=\tfrac12\sum_{i,j}L_{ij}\,I_i\,I_j.
Como as correntes são constantes ( dI_i=0), a variação de U_{\rm mag} só vem de mudanças em L_{ij}:
dU_{\rm mag} =\tfrac12\sum_{i,j}I_i\,I_j\,dL_{ij}.

Passo 3

Só o circuito 1 se move, logo apenas os coeficientes L_{1j} (e L_{j1}=L_{1j}) variam. Para i,j\neq1 temos dL_{ij}=0. Assim
dU_{\rm mag} =\tfrac12\sum_{j}\bigl(I_1\,I_j + I_j\,I_1\bigr)\,dL_{1j} =\sum_{j}I_1\,I_j\,dL_{1j}.

Passo 4

Pela definição de fluxo (12-6) para o circuito 1 temos
\Phi_{1} =\sum_{j}L_{1j}\,I_j \quad\Longrightarrow\quad d\Phi_{1} =\sum_{j}I_j\,dL_{1j} \quad(\text{pois }dI_j=0).

Passo 5

Comparando as duas expressões obtidas em

Passo 6

dU_{\rm mag} =I_1\,\sum_{j}I_j\,dL_{1j} =I_1\,d\Phi_{1}.

Passo 7

Pela conservação de energia (Eq. 12-4), a variação de energia magnética dU_{\rm mag} deve vir do trabalho realizado pelas fontes e do trabalho mecânico dW' que agiu sobre o circuito 1. Como as correntes são mantidas constantes, toda a variação dU_{\rm mag} é fornecida pelo trabalho mecânico. Portanto
dW' = dU_{\rm mag} =I_{1}\,d\Phi_{1}.

Resposta

dW' = I_{1}\,d\Phi_{1}.

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