Demonstre que a força entre fios paralelos conduzindo correntes I_{1} e I_{2}, ambas de mesmo sentido, é de atração. Se os dois fios paralelos forem muito longos e estiverem separados por uma distância a, encontre a força magnética no segmento d 1_{2} do fio 2 .

Passo 1

O enunciado trata de dois fios muito longos e paralelos que conduzem correntes I_{1} e I_{2} no mesmo sentido e estão separados por uma distância a. Precisamos usar o campo magnético gerado por um fio longo (pela lei de Ampère ou Biot–Savart) e a força de Lorentz sobre um elemento de fio, dada por \mathrm d\vec F = I\,\mathrm d\vec\ell\times\vec B.

Passo 2

O campo magnético \vec B_{1} produzido pelo fio 1, em um ponto a uma distância a dele, é obtido pela lei de Ampère para um fio retilíneo infinito:
B_{1} \;=\;\frac{\mu_{0}\,I_{1}}{2\pi\,a}.
A direção de \vec B_{1} é tangencial a círculos coaxiais ao fio 1, seguindo a regra da mão direita em torno do sentido de I_{1}.

Passo 3

Considere um elemento \mathrm d\vec\ell_{2} do fio 2, orientado segundo o sentido da corrente I_{2}. A força magnética sobre esse elemento é
\mathrm d\vec F_{2} =I_{2}\,\mathrm d\vec\ell_{2}\times\vec B_{1}.
Como \mathrm d\vec\ell_{2} e \vec B_{1} são perpendiculares, o módulo da força é
\mathrm dF_{2} =I_{2}\,\mathrm d\ell_{2}\,B_{1} =\frac{\mu_{0}\,I_{1}\,I_{2}}{2\pi\,a}\;\mathrm d\ell_{2}.

Passo 4

Pela regra da mão direita para o produto vetorial, \mathrm d\vec F_{2} aponta na direção que leva o fio 2 em direção ao fio 1. Ou seja, a força é de atração.

Resposta

\mathrm dF_{2} =\frac{\mu_{0}\,I_{1}\,I_{2}}{2\pi\,a}\;\mathrm d\ell_{2},
com sentido de atração entre os fios.

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