Suponha que um solenóide muito longo conduza uma corrente (supercondutora) de 10 A e tenha 1000 espiras por cm . Encontre a força radial por unidade de comprimento, f, em uma espira do enrolamento. Demonstre que a tensão no fio T é T=f a, onde a é o raio do solenóide.

Passo 1

O enunciado descreve um solenóide muito longo que transporta corrente de 10,A e tem 1000 espiras por centímetro. Precisamos (a) calcular a força radial por unidade de comprimento f em uma espira do enrolamento e (b) demonstrar que a tensão no fio satisfaz T = f\,a, onde a é o raio do solenóide. O conteúdo envolve magnetostática (campo dentro de um solenóide), força em fio percorrido por corrente num campo magnético e equilíbrio de uma pequena porção de arco.

Passo 2

Primeiro, achamos o campo magnético axial dentro de um solenóide longo e uniforme. Usando a Lei de Ampère, para uma espira por unidade de comprimento n (em espiras/m) e corrente I, tem-se
B = \mu_{0}\,n\,I.
Como 1000 espiras por centímetro equivale a
n = 1000\;\frac{\text{espiras}}{\text{cm}} = 1000\times 100\;\frac{\text{espiras}}{\text{m}} =1\times 10^{5}\;\text{espiras/m},
ficamos com
B = \mu_{0}\,(1\times10^{5})\,(10\text{ A}).

Passo 3

Cada fio tem corrente na direção tangencial e está imerso no campo axial B. A força magnética por unidade de comprimento sobre um fio retilíneo é
f = I\,B.
Substituindo o valor de B,
f = I\;\bigl(\mu_{0}\,n\,I\bigr) = \mu_{0}\,n\,I^{2}.

Passo 4

Para valores numéricos, \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{N/A^{2}}, n=1\times10^{5}\,\mathrm{m^{-1}}, I=10\,\mathrm{A}, daí
f = 4\pi\times10^{-7}\,(1\times10^{5})\,(10)^{2} =4\pi\times10^{0}\approx12{,}6\;\mathrm{N/m}.

Passo 5

Agora para mostrar T=f\,a, considere um pequeno arco de raio a e ângulo d\varphi. A força radial resultante distribuída sobre esse arco é
f\,(a\,d\varphi).
As duas componentes radiais da tensão T nas extremidades do arco somam
2\,T\,\sin\bigl(d\varphi/2\bigr)\approx T\,d\varphi.
Em equilíbrio radial igualamos
T\,d\varphi = f\,(a\,d\varphi) \quad\Longrightarrow\quad T = f\,a.

Resposta

Força radial por unidade de comprimento
\boxed{f = \mu_{0}\,n\,I^{2}\approx12{,}6\;\mathrm{N/m},}
e a tensão no fio satisfaz
\boxed{T = f\,a.}

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