Determine qual(is) das matrizes a seguir são (i) simétrica, (ii) singular, (iii) estritamente diagonal dominante, (iv) definida positiva.
\left[ \begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz A de ordem 3\times3:
A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ 1 & 0 & 4 \end{bmatrix}
e pede para verificar se ela é
(i) simétrica, (ii) singular, (iii) estritamente diagonal dominante, (iv) definida positiva.

Passo 2

Para ser simétrica precisamos ter A = A^T. Calculamos
A^T = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1\\\\ 1 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}.
Como o elemento \,a_{12}=1\neq a_{21}=0, concluímos que A\neq A^T e, portanto, não é simétrica.

Passo 3

Para testar singularidade calculamos o determinante de A. Usando a expansão pela primeira linha:
\det(A) =2\cdot\det\begin{bmatrix}3 & 0\\\ 0 & 4\end{bmatrix} -1\cdot\det\begin{bmatrix}0 & 0\\\ 1 & 4\end{bmatrix} +0\cdot(\dots) =2\cdot(3\cdot4 - 0)-1\cdot(0 - 0)=24.
Como \det(A)=24\neq0, A é invertível e, portanto, não é singular.

Passo 4

Uma matriz é estritamente diagonal dominante se, em cada linha i, valem
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Aqui:
linha 1: |2|>|1|+|0|\iff2>1 (ok),
linha 2: |3|>0+0\iff3>0 (ok),
linha 3: |4|>|1|+0\iff4>1 (ok).
Logo, A é estritamente diagonal dominante.

Passo 5

Para ser definida positiva é necessário, entre outras coisas, que a matriz seja simétrica. Como A não é simétrica (Passo 2), não pode ser definida positiva.

Resposta

A matriz satisfaz apenas a propriedade (iii): é estritamente diagonal dominante.

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