Determine o polinômio trigonométrico interpolador de grau quatro, para
, no intervalo
utilizando:
a. Cálculo direto;
b. O algoritmo da transformada rápida de Fourier.
a. Cálculo direto;
b. O algoritmo da transformada rápida de Fourier.
Passo 1
O enunciado pede o polinômio trigonométrico interpolador de grau quatro para a função
no intervalo
, usando duas abordagens:
- cálculo direto dos coeficientes de Fourier truncados em grau
, e - aplicação do algoritmo da transformada rápida de Fourier (FFT) em
pontos equiespaçados.
Precisamos, portanto, obter os coeficientespara tal que
Passo 2
Cálculo direto de
.
A parte
é ímpar, integra zero. Logo
e
Passo 3
Cálculo direto de
para
.
pois a parte
é ímpar. Usa-se
então
Passo 4
Cálculo direto de
.
O termo com
é ímpar, anula-se. Para
temos
Logo
Passo 5
Construção do polinômio
.
Passo 6
Aplicação do algoritmo FFT.
- Escolhemos
nós equiespaçados
- Calculamos
. - Executamos a FFT em
para obter os coeficientes complexos
,
com. - Relacionamos
,
para ,
e.
O custo é, e numericamente verifica-se que os coincidem com os valores obtidos diretamente.
Resposta
a. Coeficientes obtidos por fórmulas diretas de Fourier.
b. Mesmos coeficientes extraídos via FFT em pontos.
b. Mesmos coeficientes extraídos via FFT em