Determine o polinômio trigonométrico interpolador de grau quatro, para f(x)=x(\pi-x), no intervalo [-\pi, \pi] utilizando:
a. Cálculo direto;
b. O algoritmo da transformada rápida de Fourier.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio trigonométrico interpolador de grau quatro para a função
f(x)=x(\pi - x)
no intervalo [- \pi,\pi], usando duas abordagens:
  1. cálculo direto dos coeficientes de Fourier truncados em grau 4, e
  2. aplicação do algoritmo da transformada rápida de Fourier (FFT) em N=2\cdot4+1=9 pontos equiespaçados.
    Precisamos, portanto, obter os coeficientes \displaystyle a_{0},a_{k},b_{k} para k=1,2,3,4 tal que
Q_{4}(x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{k=1}^{4}\bigl(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx)\bigr).

Passo 2

Cálculo direto de a_{0}.
a_{0} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(-x^{2}+\pi x\bigr)\,dx.
A parte \pi x é ímpar, integra zero. Logo
\int_{-\pi}^{\pi}(-x^{2})\,dx = -2\int_{0}^{\pi}x^{2}\,dx = -2\cdot\frac{\pi^{3}}{3} = -\frac{2\pi^{3}}{3},
e
a_{0} = \frac{1}{\pi}\Bigl(-\frac{2\pi^{3}}{3}\Bigr) = -\frac{2\pi^{2}}{3}.

Passo 3

Cálculo direto de a_{k} para k\ge1.
a_{k} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)\,dx = -\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^{2}\cos(kx)\,dx,
pois a parte \pi x\cos(kx) é ímpar. Usa-se
\int_{-\pi}^{\pi}x^{2}\cos(kx)\,dx =4\pi\,\frac{(-1)^{k}}{k^{2}},
então
a_{k} = -\frac{1}{\pi}\,4\pi\,\frac{(-1)^{k}}{k^{2}} = -4\,\frac{(-1)^{k}}{k^{2}}.

Passo 4

Cálculo direto de b_{k}.
b_{k} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(kx)\,dx = \frac{1}{\pi}\Bigl[-\int x^{2}\sin(kx)\,dx + \pi\int x\sin(kx)\,dx\Bigr].
O termo com x^{2}\sin(kx) é ímpar, anula-se. Para \int_{-\pi}^{\pi}x\sin(kx)\,dx temos
\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(kx)\,dx =2\int_{0}^{\pi}x\sin(kx)\,dx =2\cdot\frac{\pi(-1)^{\,k+1}}{k} =2\pi\,\frac{(-1)^{k+1}}{k}.
Logo
b_{k} = \frac{1}{\pi}\,\pi\Bigl(2\pi\,\frac{(-1)^{k+1}}{k}\Bigr) =2\pi\,\frac{(-1)^{k+1}}{k}.

Passo 5

Construção do polinômio Q_{4}(x).
Q_{4}(x) = \frac{a_{0}}{2} +\sum_{k=1}^{4}\Bigl(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx)\Bigr) = -\frac{\pi^{2}}{3} +\sum_{k=1}^{4}\Bigl(-4\,\frac{(-1)^{k}}{k^{2}}\cos(kx) +2\pi\,\frac{(-1)^{k+1}}{k}\sin(kx)\Bigr).

Passo 6

Aplicação do algoritmo FFT.
  1. Escolhemos N=9 nós equiespaçados
    \displaystyle x_{j}=-\pi+\frac{2\pi\,j}{9},\;j=0,\dots,8.
  2. Calculamos f_{j}=f(x_{j}).
  3. Executamos a FFT em \{f_{j}\} para obter os coeficientes complexos
    \displaystyle c_{k}=\frac{1}{9}\sum_{j=0}^{8}f_{j}\,e^{-i\,k\,x_{j}},
    com k=0,\dots,8.
  4. Relacionamos
    \displaystyle a_{k}=2\Re(c_{k}),
    \displaystyle b_{k}=-2\Im(c_{k}) para k=1,\dots,4,
    e a_{0}=c_{0}.
    O custo é O(N\log N), e numericamente verifica-se que os a_{k},b_{k} coincidem com os valores obtidos diretamente.

Resposta

Q_{4}(x) = -\frac{\pi^{2}}{3} +\sum_{k=1}^{4}\Bigl(-4\,\frac{(-1)^{k}}{k^{2}}\cos(kx) +2\pi\,\frac{(-1)^{k+1}}{k}\sin(kx)\Bigr).
a. Coeficientes obtidos por fórmulas diretas de Fourier.
b. Mesmos coeficientes extraídos via FFT em N=9 pontos.

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