determine se a série dada converge ou diverge. Use o teste de Leibniz para séries alternadas para estabelecer a convergência sempre que este se aplicar.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série alternada
usando o teste de Leibniz, que exige verificar que os termos positivos
tendem a zero e formam uma sequência decrescente.
Passo 2
Verificamos o limite dos termos
. Como para
o numerador cresce como
e o denominador como
, temos
Passo 3
Mostramos que
é decrescente para
comparando com uma função contínua. Defina
Calculamos sua derivada:
Para
o numerador é negativo, logo
. Assim,
é decrescente em
e, em particular,
para todo
.
Passo 4
Pela testagem de Leibniz, como
,
e
é decrescente, a série alternada converge.
Passo 5
Para ver se converge absolutamente, note que para todo
e
é uma p-série com
. Logo
converge, o que implica que a série original converge absolutamente.
Resposta
A série converge absolutamente, e portanto converge.