determine se a série dada converge ou diverge. Use o teste de Leibniz para séries alternadas para estabelecer a convergência sempre que este se aplicar.
sumk=1^infty (-1)^k+1 kk^3+2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série alternada
sumk=1^infty(-1)^k+1,kk^3+2
usando o teste de Leibniz, que exige verificar que os termos positivos
bk = kk^3+2
tendem a zero e formam uma sequência decrescente.

Passo 2

Verificamos o limite dos termos bk. Como para ktoinfty o numerador cresce como k e o denominador como k^3, temos
limktoinftybk = limktoinftykk^3+2 = 0

Passo 3

Mostramos que bk é decrescente para k>=1 comparando com uma função contínua. Defina
f(x)=xx^3+2
Calculamos sua derivada:
f'(x) = (x^3+2) - xcdot 3x^2(x^3+2)^2 = -2x^3+2(x^3+2)^2 = 2(1 - x^3)(x^3+2)^2
Para x>1 o numerador é negativo, logo f'(x)<0. Assim, f é decrescente em [1,infty) e, em particular, bk+1<bk para todo k>=1.

Passo 4

Pela testagem de Leibniz, como bk>=0, limktoinftybk=0 e bk é decrescente, a série alternada converge.

Passo 5

Para ver se converge absolutamente, note que para todo k
0<= kk^3+2<= kk^3=1k^2,
e sum 1/k^2 é uma p-série com p=2>1. Logo sum bk converge, o que implica que a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente, e portanto converge.

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