determine se a série dada converge ou diverge. Use o teste de Leibniz para séries alternadas para estabelecer a convergência sempre que este se aplicar.
sumk=1^infty -cos k pik^3

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
sumk=1^infty -cos kpik^3
Quanto ao conteúdo, precisamos identificar se é série alternada e aplicar o teste de Leibniz, e em seguida verificar convergência absoluta usando o teste de p-série.

Passo 2

Usamos a identidade
cos(kpi)=(-1)^k
para reescrever o termo geral:
-cos(kpi)k^3 =-(-1)^kk^3 =(-1)^k+1k^3
Logo a série fica
sumk=1^infty(-1)^k+1k^3,
ou seja, é de fato uma série alternada.

Passo 3

Para aplicar o teste de Leibniz consideramos bk=1/k^3. Verificamos que
  1. bk+1=tfrac1(k+1)^3<tfrac1k^3=bk, ou seja, (bk) é decrescente;
  2. limktoinftybk=limktoinftytfrac1k^3=0.
    Pelos critérios de Leibniz, a série alternada converge.

Passo 4

Para ver se converge absolutamente, analisamos
sumk=1^inftygl|(-1)^k+1k^3gr| =sumk=1^infty1k^3
Como é uma p-série com p=3>1, ela converge. Portanto a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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